2015届高考数学基础知识总复习名师讲义训练题 第六章 不等式、推理与证明 第五节 Word版含解析.docVIP

第五节　含绝对值的不等式 知识梳理 一、绝对值的基本性质 设a∈R，则|a|＝ (1)|a|≥0； (2)≥±a； (3)－|a|≤a≤|a|； (4)|－a|＝|a|，|a－b|＝|b－a|； (5)|a|2＝a2. 二、绝对值的运算性质 1．|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|(注意等号成立的条件)． 2．|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|(注意等号成立的条件)． 以上二式中，左边分别在ab≤0(≥0)时取得等号，右边分别在ab≥0(≤0)时取得等号． 3．|a·b|＝|a|·|b|. 4.＝. 三、解绝对值不等式的思路 1．若a0，x∈R，则|x|ax2a2?－axa；|x|ax2a2?x－a或xa. 若a∈R，则需对a进行分类讨论：|x|a |x|a? 2．|f|≤g－g≤f≤g，|f|≥gf≥g或f≤－g. 3．|f|≥|g|f2≥g2?·≥0. 4．含有多个绝对值符号的不等式，例如：形如|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x＋a|≤c或|x－a|－|x－b|≥c的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”求解，也可利用绝对值的几何意义去求解． 5．含有参数的不等式的求解，通常要对参数分类讨论． 四、解答含绝对值问题的常用策略 (1)定义策略；(2)平方策略；(3)定理策略；(4)等价转化策略；(5)分段讨论策略；(6)数形结合策略． 五、证明绝对值不等式的方法 证明绝对值不等式的基本思想和基本方法有转化思想和比较法，分析法，换元法，综合法，放缩法，反证法等．基础自测 1．若命题p：|x＋1|2，命题q：x22－x，则￢p是￢q的　　(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：解|x＋1|2得－3x1，∴p：－3x1，￢p：x≤－3或x≥1；解x22－x得－2x1，∴q：－2x1，￢q：x≤－2或x≥1.显然￢p￢q，而￢q推不出￢p. ∴￢p是￢q的充分不必要条件．故选B. 答案：B 2．已知实数集R，集合M＝{x||x＋2|2}，N＝，则M∩(RN)＝(　　) A．{x|－4x0 B．{x|－1x≤0} C．{x|－1≤x0} D．{x|x0或x2}解析：由|x＋2|2－2x＋22－4x0， ∴M＝. 由10?0?x－1或x2， ∴N＝，∴RN＝， ∴M∩(RN)＝.故选C. 答案：C 3．不等式|x－2|＞x－2的解集是________．解析：原不等式同解于x－2＜0，即x＜2. 答案：{x|x＜2} 4．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．解析：令y＝|x＋1|＋|x－2|，由题意知应|a|≥ymin，而y＝|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1－x＋2|＝3，所以a≥3或a≤－3. 答案：(－∞，－3]∪． 答案： 2．(2013·重庆卷)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|a无解，则实数a的取值范围是________．解析：因为|x－5|＋|x＋3|表示数轴上的动点x到数轴上的点－3,5的距离之和，而(|x－5|＋|x＋3|)min＝8，所以当a≤8时，|x－5|＋|x＋3|a无解，故实数a的取值范围为(－∞，8]． 答案：(－∞，8] 1．(2013·潮州二模)已知不等式|x－2|＞1的解集与不等式x2＋ax＋b＞0的解集相等，则a＋b的值为________．解析：由不等式|x－2|＞1，可得x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，故不等式|x－2|＞1的解集为{x|x＞3或x＜1}，即不等式x2＋ax＋b＞0的解集为{x|x＞3或x＜1}．所以3＋1＝－a,3×1＝b，所以a＋b＝－4＋3＝－1. 答案：－1 2．若关于x的不等式|x|＋|x－1|≤a有解，则实数a的取值范围是________．解析：|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，即|x|＋|x－1|的最小值为1，若原不等式有解，则必须a≥1.∴实数a的取值范围是 1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)|a＋b|≤|a|＋|b|； (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： (1)|ax＋b|≤c； (2)|ax＋b|≥c； (3)|x－a|＋|x－b|≥c. 3.会用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|证明一些简单问题．