2015届高考数学基础知识总复习名师讲义训练题 第六章 不等式、推理与证明 第三节 Word版含解析.docVIP

第三节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 知识梳理 一、二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中，设有直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x0，y0)，则 (1)若B0，Ax0＋By0＋C0，则点P在直线的上方，此时不等式Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域； (2)若B0，Ax0＋By0＋C0，则点P在直线的下方，此时不等式Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域(注：若B为负，则可先将其变为正)． 由此可知，二元一次不等式Ax＋By＋C0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不含边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线． 由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它们的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得到的实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负情况，即可判断Ax＋By＋C0表示直线哪一侧的平面区域．特殊地，当C≠0时，直线不过原点，通常把原点作为特殊点． 二、线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． 满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域)，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解． 线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： (1)根据题意，设出变量x，y； (2)找出线性约束条件； (3)确定线性目标函数z＝f(x，y)； (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域)； (5)利用线性目标函数作平行直线系f(x，y)＝t(t为参数)； (6)观察图形，找到直线f(x，y)＝t在可行域上使t取得所求最值的位置，以确定最优解，给出答案． 生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题．基础自测 1．(2013·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为(　　) A．－7　　B．－4　　C．1　　D．2解析：可行域如图阴影部分(含边界)， 令z＝0，得直线l0：y－2x＝0，平移直线l0知， 当直线l过A点时，z取得最小值． 由得A(5,3)． 所以z最小＝3－2×5＝－7，故选A. 答案：A 2．设x，y满足约束条件则的最大值是(　　) A．5　 B．6C．8 D．10解析：画出可行域如图，的几何意义是点M(－1，－1)与可行域内的点P(x，y)连线的斜率，当点P移动到点N(0,4)时，斜率最大，最大值为＝5， ∴＝2×5＝10.故选D. 答案：D 3．(2013·汕头一模)已知变量x， y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是__________．解析：∵变量x，y满足约束条件 目标函数为：z＝3x－y， 直线4x－y＋1＝0与x＋2y－2＝0交于点A(0,1)， 直线2x＋y－4＝0与x＋2y－2＝0交于点B(2,0)， 直线4x－y＋1＝0与2x＋y－4＝0交于点C， 分析可知z在点C处取得最小值，zmin＝3×－1＝－，z在点B处取得最大值，zmax＝3×2－0＝6，故答案为. 答案： 4．已知实数x，y，z满足条件若使z取得最大值的有序数对(x，y)有无数个，则a＝________. 1．(2013·湖南卷)若变量满足约束条件则x＋2y的最大值是(　　) A．－ B．0 C. D. 解析：区域为三角形，直线u＝x＋2y经过三角形顶点时，u＝最大．故选C. 答案：C 2．(2012·山东卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是 (　　) A.　 B. C． D. 解析：画出不等式所表示的可行域，如图阴影部分所示，由z＝3x－y得y＝3x－z，平移直线y＝3x，由图象可知当直线经过点B(2,0)时，直线y＝3x－z的截距最小，此时z最大为z＝3x－y＝6，当直线经过点C时，直线截距最大，此时z最小，由解得此时z＝3x－y＝－3＝－.所以z＝3x－y的取值范围是.故选A. 答案：A 1．(2013·潮州二模)已知实数x，y满足则目标函数z＝2x－y的最大值为(　　) A．－3 　B. 　C．5 　D．6解析：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部， 其中A(－1，－1)，B(2，－1)，C(0.5,0.5)， 设z＝F(x，y)＝2x－y，将直线l：z＝2x－y进行平移， 当l经过点B时，目标函数z达到最大值． ∴zmax＝＝5.故选C. 答案：C 2．设平面区域D是由双曲线y2－＝1的两条渐近线和抛物线y2＝－8x的准线所围成的三角形(含边界与内部)．若