2015届高考数学基础知识总复习名师讲义训练题 第六章 不等式、推理与证明 第八节 Word版含解析.docVIP

第八节　不等式的证明 知识梳理 一、比较法 比较法又分为作差比较和作商比较，作差比较最常用． 1．作差比较：A－B≤0A≤B. 作差比较的步骤： (1)作差：对要比较大小的两个数(或式)作差； (2)变形：对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和； (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号． 注：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小；含方根的式子大小比较时，常要将它们平方或立方，再比较，其根据是：若pq0，则，p2q2；若mn，则m3n3，. 2．作商比较：≤1(B0)A≤B.多用于都是正数、单项情况下，比值与1比较．二、综合法 利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法，概括为“由因导果”． 三、分析法 从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”． 基本步骤：要证……只需证……只需证…… (1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件． (2) “分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达． 四、反证法 从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定原结论的正确．运用反证法的策略：正难则反． 五、放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题的目的，即欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得B≤B1，B1≤B2≤…≤A(或A≥A1，A1≥A2≥…≥B)． 常用的放缩方式有： (1)添加或舍去一些项，如：；n； (2)将分子或分母放大(或缩小)； (3)利用基本不等式，如：lg 3·lg 52＝lg2lg2＝lg24；； (4)利用常用结论： ①－＝； ②＝－；＝－(程度大)； ③＝＝(程度小)． 六、换元法 换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式．换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简．常用的换元有三角换元和代数换元．如： 已知x2＋y2＝a2，可设x＝acos θ，y＝asin θ； 已知x2＋y2≤1，可设x＝rcos θ，y＝rsin θ(0≤r≤1)； 已知＋＝1，可设x＝acos θ，y＝bsin θ. 七、构造法 通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式． 证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、结论的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点． 八、判别式法 含有两个字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，可考虑判别式法． 九、数学归纳法 可用于证明与正整数n有关的不等式．(见下一节)基础自测 1．lg 9×lg 11与1的大小关系是(　　) A．lg 9×lg 11＝1 B．lg 9×lg 111 C．lg 9×lg 111 D．lg 9×lg 11≥1解析：因为lg 9×lg 112＝22＝1，故选B. 答案：B 2．设a＝(m2＋1)(n2＋4)，b＝(mn＋2)2，则(　　) A．ab　　　 　　B．ab C．a≤b　　 D．a≥b解析：因为(m2＋1)(n2＋4)－(mn＋2)2＝(2m－n)2≥0，所以a≥b.故选D. 答案：D 3．已知实数x，y满足1≤≤4,2≤≤3，则xy的取值范围是__________．解析：由已知得1≤≤4，≤≤， 两式相乘得≤xy≤2. 答案： 4．已知实数a，b，x，y满足a2＋b2＝1，x2＋y2＝3，则ax＋by的最大值为________．解析：设a＝sin α，b＝cos α，x＝sin β，y＝cos β，则ax＋by＝sin αsin β＋cos αcos β＝(sin αsin β＋cos αcos β)＝cos(α－β)≤，故其最大值是. 答案： 1．(2013·江苏卷)已知a≥b0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. 证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因为a≥b0，所以a－b≥0，a＋b0,2a＋b0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0， 即2a3－b3≥2ab2－a2b. 2．(2012·重庆卷)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0. (1)求证：{an}是首项为1的等比数列； (2)若a2－1，求证：Sn≤(a1＋an)，并给出等号成立的充要条件． 证明：(1)由S2＝a2S1＋