2015届高考数学基础知识总复习名师讲义训练题 第八章 立体几何与空间向量 第六节 Word版含解析.docVIP

第六节　空间图形的垂直关系 知识梳理 一、空间图形的垂直关系 　直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直． 二、直线与直线垂直 　定义：两条直线所成的角为90°，则称两直线垂直，包括两类：相交垂直与异面垂直． 三、直线与平面垂直 1．定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面． 2．直线与平面垂直的判定. 类别 语言表述 应用 判定 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直(定义) 证直线和 平面垂直 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 (判定定理) 证直线和 平面垂直 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 证直线和 平面垂直 3.直线与平面垂直的性质. 类别 语言表述 图示 字母表示 应用性质 如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都垂直 a⊥b 证两条 直线垂直 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 a∥b 证两条 直线平行 四、二面角 1．定义：从一条直线AB出发的两个半平面(α和β)所组成的图形叫做二面角．记作二面角αABβ，AB叫做二面角的棱，两个半平面(α和β)叫做二面角的面． 2．二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一点O，过O分别在二面角的两个面α，β内作与棱垂直的射线OM，ON，我们把∠MON叫做二面角αABβ的平面角，用它来度量二面角的大小． 平面角是直角的二面角叫做直二面角． 五、两个平面垂直的判定和性质1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2．两个平面垂直的判定和性质类别 语言表述 图示 字母表示 应用判定 根据定义证明两平面所成的二面角是直二面角 ∠AOB是二面角αaβ的平面角，且∠AOB＝90°，则α⊥β 证两个平 面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 α⊥β 性质 如果两个平面垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角 α⊥β，∠AOB是二面角αaβ的平面角，则∠AOB＝90° 证两条直 线垂直 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 a⊥β 证直线和 平面垂直 基础自测 1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，nα，要使n⊥β，则应增加的条件是(　　) A. m∥n　　　B. n⊥m C. n∥α D. n⊥α 解析：已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，nα，根据面面垂直的性质定理，应增加条件n⊥m，才能使得n⊥β. 答案：B 2．(2013·广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β，是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　) A．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥n B．若α∥β，mα，nβ，则m∥n C．若m⊥n，mα，nβ，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：两个平面互相垂直，在每个平面各取一条直线，这两条直线可能平行、可能相交、可能异面，排除选项A；两个平面互相平行，在每个平面各取一条直线，这两条直线可能平行，可能异面，排除选项B；根据面面垂直的判定定理知，选项C错误，选项D正确．故选D. 答案：D 3．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析：∵底面四边相等，∴BD⊥AC. ∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA. ∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC. ∴BD⊥PC. 故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD， 从而有平面PCD⊥平面MBD. 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC) 4．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的是________． ①若l⊥α，则l与α相交； ②若mα，nα，l⊥m，l⊥n，则l⊥α； ③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α； ④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；由于不能确定直线m，n是否相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性，l∥n，故当l⊥α时，一定有n⊥α，命题③正确；m⊥α，n⊥α，则m∥n，又l∥m，即l∥n，命题④正确． 答案：①③④ 1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则(　　) A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线