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余弦定理
?基础达标
1.△ABC中,若a=3,c=7,∠C=60°,则边长b为( )
A.5 B.8
C.5或-8 D.-5或8
解析:由余弦定理,c2=a2+b2-2abcos C,
∴49=9+b2-3b(b-8)(b+5)=0.
∵b>0,∴b=8.选B.
答案:B2.在△ABC中,已知三边a=3,b=5,c=7,则三角形ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
解析:何种三角形取决于最大的角.最长的边所对的角最大,由余弦定理知:
cos C==-<0,
所以C为钝角,故选C.
答案:C
3.在△ABC中,有下列结论:
①若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形;
②若a2=b2+c2+bc,则∠A为60°;
③若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形;
④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3.其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①cos A=<0,∴A为钝角,正确;
②cos A==-,∴A=120°,错误;
③cos C=>0,∴C为锐角,但A或B不一定为锐角,错误;
④A=30°,B=60°,C=90°,a∶b∶c=1∶∶2,错误.故选A.
答案:A
4.在△ABC中,a=7,b=8,cos C=,则最大角的余弦值是( )
A.- B.-
C.- D.-
解析:由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcos C=9,
所以c=3,因为b>a>c,所以角B最大,
cos B==-,故选C.
答案:C
5.在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=,则·的值为( )
A.- B.- C. D.
解析:由余弦定理得:cos ∠CAB==,所以·=3×2×=.
答案:D
巩固提高
6.已知在△ABC中,=,则此三角形为( )
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形
解析:由=知=,化简得b=c.
答案:C
7.在锐角ABC中,若a=3,b=3,则边长c的取值范围是________.
解析:因为b>a,所以只要∠B,∠C为锐角即可,
只要cos B>0,cos C>0.
答案:
8.三角形的一边长为14,这条边所对的角为60°,另两边长之比为8∶5,则这个三角形的面积是________.
解析:设另两边长分别为8x,5x(x0),则cos 60°=,解得x=2或x=-2(舍去).故另两边长分别是16,10.
所以这个三角形的面积S=×16×10·sin 60°=40.
答案:40
9.在△ABC中,已知sin2B-sin2C-sin2A=sin Asin C,求B的度数.
解析:因为sin2B-sin2C-sin2A=sin Asin C,
由正弦定理得:b2-c2-a2=ac,
由余弦定理得:cos B==-,
又0°<B<180°,∴B=150°.
10.已知△ABC的顶点为A(1,),B(-2,2),C(0,0),求∠ACB.
解析:由两点间距离公式得:
AB==,
AC==2,
BC==4.
在△ABC中由余弦定理得:
cos∠ACB==.
∴∠ACB=60°.
1.余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例.
2.余弦定理的应用范围是:
(1)已知三边求三角;(2)已知两边及一个内角,求第三边.
3.已知两边及其中一边所对角用余弦定理时可能有两个解,注意用三边长度关系特点进行取舍.
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