概述化二次型为标准形的四种方法ξ.pdfVIP

高等理科教育　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2005 年第 5 期 ( 总第 63 期) 概论化二次型为标准形的四种方法 刘学鹏 　张春国 　田现东 ( 临沂师范学院 　数学系 , 山东 　临沂 　276005) 　　摘 　要 　本文全面概述了化二次型为标准形的四种方法 , 即合同变换法、第三种初等行变换 法、变形的合同变换法、正交线性替换法 , 其理论依据充分 , 方法具体。 关键词 　对称矩阵 　合同变换 　标准形 　正交线性替换 中图分类号 　G6424 　　　文献标识码 　A 　　一、合同变换法 我们以参考文献 [1 ] 的思想结合 [2 ] 和 [ 3 ] 对这四种方法给出深入细致的说明。众所周 知 , 一个秩为 r 和 n 阶对称矩阵A , 总存在 n 阶可逆矩阵 P , 使得 λ 1 λ P ′A P = r = B 0 0 λ ( ) 其中 i ≠0 i = 1, 2 , …, r , 这时A 合同于B 。因可逆矩阵 P 可表为若干初等矩阵P1 , …, Pt 的乘积, 则有 ( ( ) ) 　　　　P ′A P = P ′… P ′A P …P = B t 1 1 t ( ( ( ( ) ) ) ) ) = P ′ P ′ … P ′ P ′A P P …P P t t - 1 2 1 1 2 t - 1 t = B 上式即表明对矩阵 A 进行初等行变换 P ′, 再对 P ′A 进行相应的列变换 P ; 又对 P ′A P 进行 1 1 1 1 1 ( ( ) ) 初等行变换 P ′, 再对 P ′ P ′A P 进行相应的列变换 P ; 如此向下做, 直到把 P 化成对角形矩 2 2 1 1 2 阵B 。 还知道, 在对A 作初等行变换的同时, 对单位矩阵 I 进行同样的行变换, 当A 化成对角形矩阵B 时, I 化成了 P ′。这方面的例子各家高等代数教科书都有许多, 我们为了照应下面的方法, 在此还是 给出一个例子。 例 1 　用非退化的线性替换