2026高一数学同步5.3 第2课时 诱导公式五、六（导学案）（解析版）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

5.3第2课时诱导公式五、六导学案

1.理解公式五、六的推导过程并熟记诱导公式，理解和掌握公式的内涵及结构特

2.能够准确记忆公式五和公式六.

3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明.

教学重点：借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；

教学难点：1.诱导公式五、六的推导过程及公式的灵活应用；2.解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．

温故知新

知识点诱导公式五、六

[点拨](1)诱导公式一～六中的角可归纳为k·eq\f(π,2)±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．

①“变”与“不变”是指函数名．

②“奇”“偶”是对诱导公式k·eq\f(π,2)±α中的整数k来讲的．

③“象限”指k·eq\f(π,2)±α中，将α看成锐角时，k·eq\f(π,2)±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．

(2)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：

sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sinα，

sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα.

情景导入1：“旋转的风车”

教师展示：风车叶片旋转90°的视频，提问：

“如果叶片初始角度为α，旋转90°后，它的水平投影和垂直投影如何变化？这与三角函数值有何关系？”

【设计意图】通过动态旋转直观引出π2±

【教学建议】引导学生用手臂模拟旋转，感受“sin变cos”的规律。

情景导入2：“钟表的指针”

教师提问：

“3点时，时针与分针成90°角。若时针从12点位置偏移α度，如何快速计算此时两针夹角的正弦值？”

【设计意图】将抽象角度转化为钟表问题，突出公式五、六的实用价值。

【教学建议】让学生画图标注角度，发现sin(90?

下面在探究１的基础上继续探究

探究2

作关于直线的对称点，则以为终边的角为与角有什么关系？角与角的三角函数值之间有什么关系？

如图5.3-5，以为终边的角都是与角终边相同的角，即，因此只要探究角与的三角函数值之间的关系即可，

设，由于是点关于直线的对称点，

可以证明．①

根据三角函数的定义，得

，．

你能利用平面几何的知识，就图５.

你能利用平面几何的知识，就图５.３-５所示的情况证明①式吗？其他情况呢？

探究点1：公式五的推导

公式5

探究3

作关于关于轴的对称点，又能得到什么结论？

类似地，可得角

角的终边与角的终边具有怎样的对称性？据此你将如何证明公式六？

【设计意图】从对称性到代数表达，构建直观与抽象的联系。

【教学建议】用GeoGebra拖动α，实时观察坐标变化。

探究点2：公式六的推导

公式六

利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．公式一～公式六都叫做诱导公式（inductionformula）．

【设计意图】强化“符号看象限”的必要性，避免死记硬背。

【教学建议】分组竞赛：每组画不同象限的α，总结符号规律。

探究点3：综合应用

例3证明：

（1）；

（2）．

证明：（1）；

（2）．

【设计意图】整合多公式，培养化归思想。

【教学建议】板书学生典型错误（如符号遗漏），集体纠错。

【变式】证明：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【详解】（1）根据诱导公式一和公式三，

（2）根据诱导公式一和公式三，

（3）根据诱导公式一和公式三，

（4）根据正切和余切的关系，（3）的证明结论，

例4化简

解：原式

．

【变式】已知.

（1）化简；

（2）若，求的值.

【详解】（1）

.

（2）∵，

∴，∴，

∴.

【点睛】本题需要熟练运用诱导公式进行化简，熟记化简方法：奇变偶不变，符号看象限，在求同角三角函数值时注意公式的运用，以及对已知条件的化简.

例5已知，且，求的值．

分析：注意到，如果设，那么，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题

解：设，那么，从而，于是．

因为，所以，由，得，

所以，所以．

【变式】已知，求的值．

【详解】因为，，

所以

，

．

所以．

??

1.（24-25高一下·江西南昌·期末）（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【知识点】诱导公式一、特殊角的三角函数值、诱导公式五、六

【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可