2026高一数学同步5.2.2 同角三角函数的基本关系（教学设计）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

5.2.2同角三角函数的基本关系教学设计

教学内容

本节选自人教A版2019必修第一册第五章《三角函数》第4课时，主要内容为“同角三角函数的基本关系”：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinα／cosα（cosα≠0）及其变形应用。学生将利用这些关系完成求值、化简与恒等式证明三类任务。

内容解析

理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．

会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．

知识地位：前面已学习任意角、弧度制及单位圆定义，本节是三角恒等变换的“第一块基石”，后续诱导公式、和差角公式等均以此为工具。

数学思想：数形结合（单位圆）、代数变形（恒等变换）、分类讨论（象限符号）。

逻辑线索：定义→关系→变形→应用→反思。

教学目标

理解并掌握同角三角函数基本关系的推导与适用条件。

能根据已知三角函数值，利用基本关系求其余函数值，并正确判断符号。

能化简含同角的三角函数式并证明简单恒等式，体验“化切为弦”?“1的代换”等策略。

在真实情境中抽象出三角关系模型，发展数学建模与逻辑推理素养。

目标解析

1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.

2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．

达成上述目标的标志是：

学生能：

指着单位圆说出sin2α＋cos2α＝1的几何意义；

独立写出tanα＝sinα／cosα成立的条件；

面对“已知sinα＝－3/5且α在第三象限，求cosα、tanα”的问题，两步完成并解释符号依据；

口述化简题“tanα·cosα”的思路并给出结果；

在小组内完成一道恒等式证明，并用“左右归一法”向班级展示。

本节内容是学生学习了任意角和弧度制，任意角的三角函数后，安排的一节继续深入学习内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数知识的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第五章《三角函数》，本节课是第4课时。

本节课是学生学习了任意角和弧度值,任意角的三角函数后,安排的一节继续深入学习的内容,是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具,是整个三角函数的基础,在教材中起着承上启下的作用。同时,它体现的数学思想与方法在整个高中数学学习中都有着重要的作用。所以本节课的重点是同角三角函数基本关系式,难点是求值中的应用。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；教学难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．

温故知新

知识点同角三角函数的基本关系

同角三角函数的基本关系

关系式

语言叙述

平方关系

eq\o(□,\s\up1(01))sin2α＋cos2α＝1

同一个角α的正弦、余弦的eq\o(□,\s\up1(02))平方和等于1

商数关系

eq\o(□,\s\up1(03))eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))

同一个角α的正弦、余弦的eq\o(□,\s\up1(04))商等于角α的正切

[提醒](1)“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立．

(2)sin2α是(sinα)2的简写，不能将sin2α写成sinα2.

[拓展]公式变形

sin2α＋cos2α＝1?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα.))

tanα＝eq\f(sinα,cosα)?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝tanαcosα，,cosα＝\f(sinα,tanα)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).

导入新知

导入1：抖音挑战

教师播放15秒短视频：一位滑板少年在U形池中完成180°转体，镜头定格在腾空瞬间。字幕弹出：“滑板的腾空角度θ已知，如何不用测角仪快速算出他落地瞬间的水平速度与垂直速度之比？”

教师评述：这个比值其实就是tanθ！但如果我们只知道垂直速度，能否推算出水平速度？学完今天的关系式，就能秒答！

【设计意图】把“速度分解”这一真实问题抽象为三角函数求值，激发探究欲。

【教学建议】可让学生现场用秒表、测距App做极简实验，引出“已知sinθ求tanθ”的需求。

导入2：校