2026高一数学同步5.4.3　正切函数的性质与图象（导学案）（解析版）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

5.4.3正切函数的性质与图象导学案

1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。

2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。

3.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。

教学重点：

正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性；

正切函数的图象和性质.

教学难点：

正切函数定义域的理解及正切曲线与直线x=kπ+π

2.正切函数在每一个开区间kπ-π2,kπ

知识点一正切函数的图象

(1)正切函数的图象．

(2)正切函数y＝tanx，x∈R，x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z的图象叫做eq\x(\s\up1(01))正切曲线．

(3)正切函数的图象特征

正切曲线是被与y轴平行的一系列直线eq\x(\s\up1(02))x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．

[点拨](1)画函数y＝tanx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的简图时，可采用“三点两线”法，即可以先描三点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－1))，(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1))，再画两条平行的虚线x＝－eq\f(π,2)，x＝eq\f(π,2)，最后连线．

(2)正切函数y＝tanx图象的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z，没有对称轴．

知识点二正切函数的性质

(1)正切函数的性质

函数

y＝tanx

定义域

eq\x(\s\up1(01))eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))

值域

eq\x(\s\up1(02))R

周期

最小正周期为eq\x(\s\up1(03))π

奇偶性

eq\x(\s\up1(04))奇函数

单调性

eq\x(\s\up1(05))在每一个开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上都单调递增

(2)函数y＝tanωx(ω≠0)的最小正周期是eq\x(\s\up1(06))eq\f(π,|ω|)．

[提醒](1)虽然正切函数y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上单调递增，但不能说正切函数在其定义域上单调递增．

(2)正切函数没有单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间．

(3)正切函数没有最大值和最小值．

情境1：生活中的“坡度”

【教师展示】

播放一段山地自行车赛道视频，提问：“赛道某段的坡度（tanθ）随角度θ如何变化？当θ接近90°时，坡度会怎样？”

【设计意图】用坡度直观引出tanθ的无限增大，暗示垂直渐近线。

【教学建议】让学生用手臂模拟坡度变化，感受θ→90°时的“不可达”。

情境2：数学中的“矛盾”

【教师提问】

“我们学过y=sinx在R上连续，那么y=tanx的图象是否也连续？若出现间断，原因是什么？”

【设计意图】通过对比制造认知冲突，驱动学生探究定义域。

【教学建议】让学生先猜想再验证，强调“定义域优先”原则。

探究点1：定义域与渐近线（几何直观）

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究．这就是我们本节课要研究的问题．

思考：

(1)根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质?

(2)你能用不同的方法研究正切函数吗?

有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象．

探究点2：周期性（代数推导）

1．周期性

由诱导公式

，且

可知，正切函数是周期函数，周期是．

探究点3：奇偶性（对称验证）

2．奇偶性

由诱导公式

，且，

可知，正切函数是奇函数．

思考：

你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及