2026高一数学同步5.4.3　正切函数的性质与图象（导学案）（原卷版）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

5.4.3正切函数的性质与图象导学案

1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。

2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。

3.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。

教学重点：

正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性；

正切函数的图象和性质.

教学难点：

正切函数定义域的理解及正切曲线与直线x=kπ+π

2.正切函数在每一个开区间kπ-π2,kπ

知识点一正切函数的图象

(1)正切函数的图象．

(2)正切函数y＝tanx，x∈R，x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z的图象叫做．

(3)正切函数的图象特征

正切曲线是被与y轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．

(2)正切函数y＝tanx图象的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z，没有对称轴．

知识点二正切函数的性质

(1)正切函数的性质

函数

y＝tanx

定义域

值域

周期

最小正周期为

奇偶性

单调性

(2)函数y＝tanωx(ω≠0)的最小正周期是．

情境1：生活中的“坡度”

【教师展示】播放一段山地自行车赛道视频，提问：“赛道某段的坡度（tanθ）随角度θ如何变化？当θ接近90°时，坡度会怎样？”

情境2：数学中的“矛盾”

【教师提问】“我们学过y=sinx在R上连续，那么y=tanx的图象是否也连续？若出现间断，原因是什么？”

探究点1：定义域与渐近线（几何直观）

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究．这就是我们本节课要研究的问题．

思考：

(1)根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质?

(2)你能用不同的方法研究正切函数吗?

有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象．

探究点2：周期性（代数推导）

1．周期性

由诱导公式

，且

可知，正切函数是周期函数，周期是．

探究点3：奇偶性（对称验证）

2．奇偶性

由诱导公式

，且，

可知，正切函数是奇函数．

思考：

你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其性质会有什么帮助?

可以先考察函数的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．

探究

如何画出函数的图象

如图5.4-9，设，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点，过点作轴的垂线，垂足为M；过点作轴的垂线与角的终边交于点T，则

由此可见，当时，线段的长度就是相应角的正切值．我们可以利用线段画出函数的图象，如图5.4-10所示．

观察图5.4-10可知，当时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当趋向于时，AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数

的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线

探究:

你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征?

根据正切函数是奇函数，只要画的图象关于原点的对称图形，就可得到

的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数的图象向左、右平移，每次平移个单位，就可得到正切函数的图象，我们把它叫做正切曲线(tangentcurve)(图5.4-11)．

从图5.4-11可以看出，正切曲线是被与轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．

探究点4：单调性（图象与定义结合）

3．单调性

观察正切曲线可知，正切函数在区间上单调递增．

由正切函数的周期性可得，

正切函数在每一个区间上都单调递增．

探究点5：图象绘制（“三点两线法”）

4．值域

当时在内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值，因此，正切函数的值域是实数集

典例分析

例6求函数的定义域、周期及单调区间．

【变式】(多选题）下列关于函数的说法不正确的是（????）

A．定义域为 B．最小正周期是

C．图象关于成中心对称 D．在定义域上单调递增

??

1.（24-25高一上·四川泸州·期末）函数与的图象在区间上的交点个数为（???）

A．4 B．3 C．2 D．1

2．（24-25高一上·云南文山·阶段练