2026高一数学同步5.2.1 三角函数的概念 （导学案）（原卷版）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

5.2.1三角函数的概念导学案

1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义；

2.根据定义认识函数值的符号，理解诱导公式一；

3.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题；

4.体验三角函数概念的产生、发展过程，领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验。

教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义；

教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。

温故知新

知识点一三角函数的概念

(1)任意角的三角函数的定义

前提

如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)

定义

正弦函数

把点P的坐标叫做α的正弦函数，记作，即

余弦函数

把点P的坐标叫做α的余弦函数，记作cosα，即x＝cosα

正切函数

把点P的坐标与坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即eq\f(y,x)＝tanα(x≠0)，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数

三角函数

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数

(2)三角函数的定义域

三角函数

定义域

y＝sinx

x∈

y＝cosx

x∈

y＝tanx

x∈

[拓展]三角函数的等价定义

如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．

知识点二三角函数值的符号

规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

知识点三公式一

名称

符号语言

文字语言

公式一

sin(α＋k·2π)＝(k∈Z)

cos(α＋k·2π)＝(k∈Z)

tan(α＋k·2π)＝(k∈Z)

终边相同的角的同一三角函数的值

导入1：手机电量“旋转木马”

【情境】同学们有没有发现：手机电量从0%充到100%，再充依旧是100%；从100%用到0%，再往下用也跳不到?10%。如果把“电量百分比”看成三角函数值，把“充电/用电时间”看成角度，这里面是否也存在“转一圈回到老地方”的规律？

导入2：旋转木马上的“拍照游戏”

【情境】游乐园旋转木马每转一圈，摄影师在同一位置给你拍照。无论木马先逆时针转3圈再顺时针转2圈，最终照片里你的脸朝哪个方向只取决于“净转1圈”。

在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数，下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题，不失一般性，先研究单位圆上点的运动．现在的任务是：

如图5.2-1，单位圆上的点以为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点的位置变化情况．

根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题．

如图5.2-2，以单位圆的圆心为原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为．射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为．

探究

当时，点的坐标是什么？当或时，点的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？

一般地，任意给定一个角，他的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗?

利用勾股定理可以发现，当时，点的坐标是；当或时，点的坐标分别是和．它们都是唯一确定的．

注意点：

(1)三角函数值是比值，是一个实数．

(2)三角函数值的大小只与角的大小有关．

一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的．所以，点的横坐标、纵坐标都是角的函数，下面给出这些函数的定义．

设是一个任意角，．它的终边与单位圆相交于点．

（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数（sinefunction），记作，即

；

（2）把点的纵坐标叫做的余弦函数（cosinefunction），记作，即

；

（3）把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即

．

可以看出，当时，的终边在轴上，这时点的横坐标等于0，所以无意义，除此之外，对于确定的角，的值也是唯一确定的．所以，也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数（tangentfunction）．

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数（trigonometicfunction），通常将它们记为：

正弦函数；

余弦函数；

正切函数．

探究

在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设，把按照锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为，并把按照本节三角函数定义求得的的正弦记为，与相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？

典例分析

例1求的正弦、余弦和正切值．

【变式】已知角的终边经过点，，且，则