2026高一数学同步5.3 第1课时 诱导公式二、三、四（导学案）（原卷版）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

PAGE

PAGE1

好好学习

5.3诱导公式（第1课时）诱导公式二、三、四

导学案

1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题

2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。

教学重点：借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；

教学难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．

温故知新

知识点一角的对称

(1)角π＋α的终边与角α的终边关于对称，如图(a)；

(2)角－α的终边与角α的终边关于对称，如图(b)；

(3)角π－α的终边与角α的终边关于对称，如图(c)．

知识点二诱导公式

公式二

sin(π＋α)＝

cos(π＋α)＝

tan(π＋α)＝

公式三

sin(－α)＝

cos(－α)＝

tan(－α)＝

公式四

sin(π－α)＝

cos(π－α)＝

tan(π－α)＝

导入1：旋转的风车叶片

【情景描述】教师展示风车旋转视频，提问：“若叶片初始位置与x轴夹角为30°，逆时针旋转180°后，新位置的‘高度’（正弦值）与原位置有何关系？”

导入2：镜子里的时钟

【情景描述】提问：

“镜子里3:00的时钟显示为9:00，此时时针与12点的夹角（设为α）与镜中像的夹角（–α）的余弦值有何关系？”

在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同一三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把求绝对值较大的三角函数值转化为求0°～360°角的三角函数值，对于90°～360°角的三角函数值，我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解，这是我们今天要学习的内容．

前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系．我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性．

探究点1：中心对称与公式二（π+α）

如图5.3-1，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点．

（1）作关于原点的对称点，以为

终边的角与角有什么关系？角，的

三角函数值之间有什么关系？

（2）如果作关于轴（或轴）的对称点

（或），那么又可以得到什么结论？

下面，借助单位圆的对称性进行探究

如图5.3-2以为终边的角都是与角

终边相同的角，即．因此，

只要探究与的三角函数值之间的关系即可

设，．因为是点关于原点的对称点，

所以，

角还可以看作是角

角还可以看作是角得终边按逆时针方向旋转角得到的.

；

．

从而得

公式二

探究点2：x轴对称与公式三（–α）

如图5.3-3，作关于轴的对称点，则以为终边的角为，并且有

公式三

探究点3：y轴对称与公式四（π–α）

如图5.3-4，作关于轴的对称点，则以为终边的角为，并且有

公式四

请你

请你类比公式二，证明公式三和公式四.

例1．利用公式求下列三角函数值

（1）；（2）；（3）；（4）．

【变式】的值为（????）

A． B． C． D．

思考

由例1，你对公式一～公式四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？

利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：

数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题．数学家制作了锐角三角函数表，并通过公式一～公式四，按上述步骤解决了问题．现在，我们可以利用计算工具方便地求任意角的三角函数值，所以这些公式的“求值”作用已经不重要了，但它们所体现的三角函数的对称性，在解决三角函数的各种问题中却依然有重要的作用．

例2．化简：

【变式】若，且，则的值为（????）

A． B． C． D．

??

1.（24-25高一下·北京顺义·阶段练习）（???）

A． B． C． D．

2.（24-25高一下·山西吕梁·开学考试）（????）

A． B． C． D．

3.（24-25高一下·河北·期末）若，则（???）

A． B． C． D．

4.（24-25高一下·河北承德·期末）（???）

A． B． C． D．

5.（24-25高一下·广东佛山·期中）若，是第三象限的角，则（???）

A． B． C． D．

6.（