2026高一数学同步5.1.2 弧度制 （导学案）（原卷版）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

5.1.2弧度制导学案

1.了解弧度制,明确1弧度的含义.

2.能进行弧度与角度的互化.

3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.

教学重点：1.弧度制的意义；2.角度与弧度的互化.弧度制下；3.弧长和扇形面积公式的运用．

教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。

温故知新

知识点一度量角的两种单位制

(1)角度制

①定义：用作为单位来度量角的单位制．

②1度的角：周角的为1度的角，记作1°.

(2)弧度制

①定义：以作为单位来度量角的单位制．

②1弧度的角：长度等于的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

③表示方法：1弧度记作．

知识点二弧度数的计算及弧度与角度互化

(1)弧度数的计算

(2)弧度与角度的互化

(3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表

度

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

弧度

0

eq\f(π,6)

eq\f(π,2)

π

知识点三扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0α2π)为其圆心角，则

(1)弧长公式：l＝．

(2)扇形面积公式：S＝＝．

导入1：披萨店的“弧度优惠”

【情景】“本店推出‘弧度披萨’：按圆心角（弧度）计价！π/3弧度的披萨售价30元，π/2弧度售价45元，请问π弧度披萨多少钱？”

导入2：导航软件的“弯道提示”

“高德地图提示：前方500米有连续弯道，转弯角度共1.5弧度。司机如何估算弯道总长度？”

同学们，本节课题目中有弧度二字，大家想到了什么？是否想到了足球射门的弧度、篮球投篮的弧度？我们认知的弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵．而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变．

探究点1：1弧度有多大？

一、弧度制的概念

量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？

问题1在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？

提示1度的角等于周角的eq\f(1,360).圆心角是确定的．

我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的．这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．

下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制．

如图5.1-9，射线OA绕端点O旋转到OB形成角，在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角．

设，，点P所形成的圆弧的长为．由初中所学知识可知，

于是

．

探究

问题2如图5.1-10，在射线OA上任取一点Q（不同于点O），．在旋转过程中，点Q所形成的圆弧的长为．与的比值是多少？你能得出什么结论？

探究点2：为什么数学家偏爱弧度？

可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关．也就是说，这个比值随的确定而唯一确定．这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角．

我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．

我们把半径为1的圆叫做单位圆．如图5.1-11，在单位圆O中，的长等于1，就是1弧度的角．

根据上述规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么

其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负．当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于或小于的角．这样就可以得到弧度为任意大小的角．

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．

公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。欧拉是明确提出弧度制思想的数学家．1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于弧度，1弧度等于周角的．这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算．

二、角度制与弧度制的相互转化

问题3根据公式|α|＝eq\f(l,r)，你能得出圆周角的弧度数吗？

探究

角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算．如何换算呢？

提示因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数α＝2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度