1.4.2.2+用空间向量研究夹角问题+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册.pptxVIP

1.4.2.2用空间向量研究夹角问题

复习回顾1.空间两点之间的距离2.点到直线的距离两条平行直线的距离

3.点到平面的距离APQll直线与平行平面的距离两平行平面的距离

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何结论.（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:

回顾：异面直线所成的角两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角.???θπ-θml??角的范围差异：异面直线所成角：(0°，90°]两向量夹角：[0°，180°]?

例7如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值．ACDBMN解：

知识点二：直线与平面所成的角??θ?αl?知识迁移：我们用向量方法解决了异面所成角的问题，类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.?P413

思考：图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？??

注明：二面角的大小判断:肉眼观察法

ABCC1A1B1xyzPQR

解：化为向量问题ABCC1A1B1xyzPQR进行向量运算

回到图形问题P383

ACBA1C1B1xyzO

课堂小结作业：P384,P439,10,15

ABCC1B1A1F1D1xyz练习（第38页）A

解1:令PA=PB=PC=1,则PABC为正四面体.(P38练习2).PA,PB,PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是().PCABO

P?

?

例10如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PA//平面EDB;(2)求证:PB⊥平面EFD;(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.BCDAPEF(1)证明:连接AC,交BD于点G,连接EG.依题意得解:G因为底面ABCD是正方形,所以点G是它的中心，又E是PC的中点所以PA//EG.而EG平面EDB，且PA平面EDB,因此PA//平面EDB.

∴PB⊥DE.由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，∴PB⊥平面EFD.BCDAPEFxyz例10如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PB⊥平面EFD;(2)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.????

BCDAPEFxyz例10如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(2)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.???????P4418

(3)解2:BCDAPEFxyz例10如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何结论.（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: