5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册.pptxVIP

5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性

北师大版

必修第一册

第五章函数应用

1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系；

2.掌握函数零点存在定理；

学习目标

3.能结合图象求解零点问题.

从不同的角度看问题

一次函数

y=x-1一条直线

二元一次方程

令y=0,即x-1=0,∴x=1

方程x-1=0的根一数的角度

函数y=x-1的图象与x轴的交点的横坐标

函数y=x-1的零点

y个

-1

形的角度

1

我们已经学过一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，它们有相应

的求解公式，并掌握了这些方程的求解方法而实际上，绝大部分方程没有求解公式.本节我们就利用方程与函数的关系判断方程解的存在性，并给出方程近似解的求法.

在初中，我们已经学习了用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况，能

否换一种方法，从函数的角度研究如何判定一元二次方程实数根的存在性呢?

观察函数f(x)=x²-x-6的图象：

f(-4)=14₁0

由于函数f(x)的图象是连续的曲线，因此点

B(0,-6)与点C(4,6)之间的那部分曲线必

然穿过x轴，即在区间(0,4)内必有一点x₁,

使f(x₁)=0;

同理，在区间(-4,0)内也必有一点x₂,使

f(x₂)=0.

因此，方程x²-x-6=0有两个不相等的实抛物线开口向上数根.

函数的零点

零点：使得f(x₀)=0的数x。称为方程f(x)=0的解，也称为函数的零点

f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.

特别提醒：

[1]函数的零点不是点，而是实数.

[2]并不是所有的函数都有零点，如函数,y=x²+1均没有零点.

[3]若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内.

[1]函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数解，也是函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标.

[2]如果函数在零点两侧对应的函数值异号，那么称这个零点为变号零点；

如果函数在零点两侧对应的函数值同号，称该零点为不变号零点.如2就

是函数f(x)=(x-2)²的不变号零点.

函数零点与方程解的关系

函数y=f(x)有零

点

f(x)=-x²-x+2在区间(0,2)内有零点

x=1,它是方程-x²-x+2=0的一个根.

f(x)=-x²-x+2在(-3,0)内有零点x=-2,它是方程-x²-x+2=0的另一个根.

如图，观察函数f(x)=-x²-x+2,g(x)=Inx零点所在区间，以及这一区间内函

数图象与x轴的关系，你能用f(x),g(x)的取值刻画这种关系吗?

[1]在包含零点的某区间内，函数的图象“穿过”x轴

[2]零点两侧的函数值符号相反，即f(a)·f(b)0

g(x)=Inx在区间内有零点x=1,它是方程Inx=0的一个根.

f(x)图象连续不断

穿过x轴

f(0)·f(2)0

f(-3)·f(0)

g(x)图象连续不断

穿过x轴

你能概括上面两种情况的共性吗?

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)0,是否一定

能得到函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点?为什么?

不一定.

如,f(-1)=-1,f(1)=1,f(-1)·f(1)0,

但是该函数在(-1,1)内没有零点.因为函数的图象是断开

的，虽然函数值从负变到正，但图象却没有“穿过”x轴.

除了函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)0,根据前面的讨

论，追加什么条件就能保证函数y=f(x)在区间[a,b]内存在零点?

函数y=f(x)的图象在给定区间[a,b]上的图象连续不断.

函数的零点存在定理

零点存在定理：若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)0,则在开区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.

利用零点存在定理判断函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点的前提条件有两个：

①f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线；

②f(a)·f(b)0.这两个条件缺一不可

如果