高中数学人教A版必修第二册7.3.1 复数的三角表示式教学设计.docxVIP

7.3.1复数的三角表示式

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版必修第二册

章节：7.3.1复数的三角表示式

教材分析

本节课通过复数与复平面内向量的对应关系，引导学生从几何角度出发，利用向量的模r和方向角θ表示复数，从而引出复数的三角形式r(cosθ

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已掌握复数的代数形式及其几何意义，理解复数与复平面内点、平面向量的一一对应关系，并熟悉向量的模与坐标运算，具备三角函数的基本知识如cosθ、sinθ的定义及单位圆中的应用，这为从向量的模和方向引入复数的三角表示奠定了基础；高中生正处于逻辑思维迅速发展的阶段，具备一定的抽象概括能力和数形结合意识，但对辐角概念的多值性及主值规定的理解仍可能存在困惑；本节课要求学生能由复数的几何表示出发，借助向量的模r和辐角θ推导出复数的三角形式

教学目标

理解复数三角表示式的概念，能够解释复数模和辐角的几何意义，达到数学抽象核心素养水平一的要求。

掌握复数代数形式与三角形式的互化方法，能够根据运算需求进行形式转换，达到数学运算核心素养水平二的要求。

能够通过复数的几何表示，理解复数与向量的对应关系，达到直观想象核心素养水平一的要求。

理解辐角主值的定义，能够计算非零复数的辐角主值，达到逻辑推理核心素养水平一的要求。

能够运用复数相等的条件，判断两个非零复数是否相等，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。

重点难点

教学重点：复数的三角形式定义，即z=r(cosθ+isinθ

课堂导入

同学们，之前我们学习了复数的代数形式a+bi，它与复平面内的点及向量紧密相关。现在思考这样一个问题，假如我们在航海中，要描述船只的位置，用方向和距离是不是更方便呢？同样的道理，复数作为数学中的“特殊量

复数的三角表示式

探究新知

（一）知识精讲

我们知道，复数z=a+bi（其中a,b∈R）在复平面上可以对应一个点

如图所示，向量OZ不仅可以用坐标(a,b)来刻画，还可以通过它的模和方向来唯一确定。向量的模即为复数的模，记作：

r=∣OZ∣=∣a+bi∣=a2+b2.

而向量的方向，可以通过以

由三角函数的定义，在直角三角形中可得：

{a=rcosθ,b=rsinθ.

将上述两式代入复数的代数形式z=

一般地，任何一个复数z=a+bi都可以写成r(cosθ+isinθ)的形式，其中r=a2+b2≥0是复数z的模，θ是复数z

需要注意的是，任何一个不等于零的复数都有无穷多个辐角，它们之间相差2π的整数倍。例如，若θ0是一个辐角，则所有辐角可表示为θ0+2kπ（k∈Z）。为了统一表示，我们规定在区间[0,2π)

每一个非零复数由其模和辐角主值唯一确定。因此，两个非零复数相等，当且仅当它们的模相等且辐角的主值相等。

（二）师生互动

师：刚才我们看到，复数不仅可以像a+bi这样用代数形式表示，还能用模和辐角写成三角形式。那么请大家思考：如果已知一个复数的三角形式z=r(cosθ+isinθ)，我们能否还原出它的实部和虚部？

生：可以，根据公式a=rcosθ，b=rsinθ，就能求出实部和虚部。

师：很好！那反过来，如果我们有一个代数形式的复数，比如z=?1+3i，你能尝试把它化为三角形式吗？关键是要找什么？

（三）设计意图

通过引导学生回顾复数与向量之间的对应关系，借助几何直观建立复数模与辐角的概念，使学生理解复数除了代数表达外还可以用三角形式表示，达成对复数本质的多角度认识。在推导过程中保留完整的代数变换逻辑，强化学生对公式来源的理解，避免机械记忆。通过设置层层递进的问题链，促进学生在已有三角函数和向量知识的基础上进行迁移与整合，提升其数学抽象和逻辑推理能力。采用“问题驱动—观察分析—归纳总结”的学习路径，鼓励学生主动参与概念建构过程，体会数形结合的思想价值。整个设计注重基础知识的严谨表述，同时渗透数学表达形式多样化的观念，帮助学生形成结构化的知识体系，并为后续学习复数的乘除运算及棣莫弗定理奠定认知基础。

新知应用

例1题目：

画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

(1)12+3

解答：

(1)复数z=12+32i对应的点为Z(12,32)，在复平面上位于第一象限。

我们先求其模：

r=∣z∣=(12)2+(32)

(2)复数z=1?i对应的点为Z(1,?1)，位于第四象限。

计算模：

r=∣z∣=12+(?1)2=2

求辐角：

cos

总结：

1.题目考查内容

①复数的代数形式向三角形式的转化；

②复数的模与辐角的计算；

③辐角主值的概念及其在不同象限的确定方法；

④复数与复平面向量的几何对应关系。

2.题目求解要点

①先计算复数的模r=a2+b2；

②利用co