高中数学人教A版必修第二册8.6.2 直线与平面垂直教学设计.docxVIP

8.6.2直线与平面垂直

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版必修第二册

章节：8.6.2直线与平面垂直

教材分析

本节课通过生活实例和几何直观引入直线与平面垂直的概念，结合旗杆与影子的关系说明直线与平面垂直的本质特征，并给出定义：若直线l与平面α内任意直线都垂直，则记作l⊥α。接着通过折纸实验探究判定定理：若一条直线与平面内两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直，符号表示为m?α，n?α，m∩

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已通过初中几何学习掌握了直线与直线垂直的基本概念，高中阶段又学习了空间点、线、面的位置关系及异面直线所成角等知识，具备一定的空间想象能力和逻辑推理基础，同时在平面几何中积累了“垂直”关系的判定与性质经验，能够为理解直线与平面垂直提供类比基础；高中生正处于形式运算阶段，具备较强的抽象思维能力和探究意识，但对空间垂直关系的严谨定义和符号语言表达仍需逐步适应，容易受平面直角直观影响而忽略空间复杂性；本节课要求学生从生活实例出发，通过观察、操作、归纳理解直线与平面垂直的定义、判定定理及其性质，并能运用l⊥m、l⊥n、m∩

教学目标

理解直线与平面垂直的定义，能够通过生活实例抽象出数学概念，达到数学抽象核心素养水平一的要求。

掌握直线与平面垂直的判定定理，能够运用定理证明直线与平面垂直，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。

理解直线与平面所成角的概念，能够计算直线与平面所成的角，达到直观想象和数学运算核心素养水平一的要求。

掌握直线与平面垂直的性质定理，能够运用性质定理解决空间几何问题，达到逻辑推理和直观想象核心素养水平二的要求。

能够通过折纸实验探究直线与平面垂直的条件，发展空间想象能力和数学探究能力，达到直观想象和数学建模核心素养水平二的要求。

重点难点

教学重点：直线与平面垂直的定义、判定定理（l⊥m，l⊥n，m∩n=

课堂导入

同学们，想象一下在狂风暴雨的天气中，一棵大树屹立不倒，树干与地面呈现出怎样的位置关系呢？相信大家都能直观感觉到树干近似垂直于地面。再比如高楼大厦的外墙与地面，是不是也给我们类似的印象。那从数学角度，如何准确描述直线与平面垂直呢？接下来我们一起深入探究。在同一平面内，垂直关系我们比较熟悉，可到了空间中，直线与平面垂直又有怎样独特的性质和判定方法呢？让我们带着这些疑问，开启今天直线与平面垂直知识的学习之旅。

直线与平面垂直

探究新知

（一）知识精讲

在日常生活中，我们常常能观察到直线与平面垂直的现象。例如，直立的旗杆与水平地面之间的位置关系，或教室中相邻墙面的交线与地面的关系，都呈现出直线与平面垂直的直观形象。为了进一步理解这一几何关系，我们可以从观察入手：如图8.6-8所示，旗杆AB直立于地面，其影子BC

这说明旗杆AB所在直线不仅与地面上过点B的任意一条直线垂直，而且对于不过点B的任意直线B′C′，总可以在地面上找到一条过点B且与B′C

基于上述观察，我们给出直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。此时，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P

画直线与平面垂直时，通常将直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图8.6-9所示，以体现空间中的垂直关系。

接下来考虑如何判断一条直线是否与一个平面垂直。根据定义，需要验证该直线与平面内所有直线都垂直，但这在实际操作中不可行。为此，我们通过实验探究更简便的判定方法。

如图8.6-10所示，取一张三角形纸片ABC，过顶点A折叠纸片得到折痕AD，然后将折叠后的纸片竖直放置在桌面上，使边BD和DC与桌面接触。此时，折痕AD是否与桌面所在平面α垂直？实验发现，只有当折痕AD是边BC

在这种情况下，由于翻折前后垂直关系保持不变，所以AD⊥BD且AD⊥DC。而BD与DC

由此得出直线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与此平面垂直。

用符号语言表示为：若m?α，n?α，m∩n=P，且

此外，当一条直线与平面相交但不垂直时，这条直线称为该平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足。如图8.6-14所示，从斜线上一点P向平面α引垂线PO，连接垂足O与斜足A得到直线AO，这条直线称为斜线PA在平面

特别地，当直线与平面垂直时，规定它们所成的角为90°；当直线与平面平行或在平面内时，规定所成的角为0°。因此，直线与平面所成角θ的取值范围是

关于直线与平面垂直的性质，在已知a⊥α的条件下，可以进一步研究其他与该平面垂直的直线之间的关系。类比平面几何中“垂直于同