高中数学人教A版必修第二册7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义教学设计.docxVIP

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版必修第二册

章节：7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

教材分析

本节课通过复数的三角形式推导复数乘、除运算的三角表示，并解释其几何意义，体现了代数运算与几何直观的结合。教学过程以学生已有复数代数运算为基础，通过设问引导学生自主推导复数乘法的三角形式，并借助图形解释其几何意义，再类比乘法引导学生得出除法的三角表示及几何意义。本节内容承接复数的三角表示与几何意义，是复数运算研究的深入，为后续学习复数在向量运算、旋转变换等几何问题中的应用奠定基础。通过本节课的学习，学生能够提升代数推导能力与几何直观能力，理解数学运算与几何意义之间的对应关系，增强数形结合的思想方法，为后续学习复数的几何应用及相关变换打下坚实基础。

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已经掌握了复数的基本概念、代数形式的四则运算以及三角形式的表示方法，同时具备了三角函数的基本知识，如两角和与差的正弦、余弦公式，这为理解复数乘除运算的三角表示奠定了基础；高中阶段的学生抽象思维能力逐步增强，能够接受较为复杂的数学符号运算与几何意义的结合，但在将代数运算转化为几何直观方面仍需引导；本节课要求学生理解复数乘除运算的模与幅角的变化规律，并能借助向量旋转与伸缩理解其几何意义，有助于提升学生数形结合的能力，深化对复数本质的理解。

教学目标

理解复数乘、除运算的三角表示形式，能够推导并解释复数三角形式的乘法公式r1

掌握复数除法的三角表示形式，能够通过乘法逆运算推导出除法公式r1

理解复数乘除运算的几何意义，能够通过向量旋转和伸缩变换解释复数乘除运算的几何含义，达到直观想象核心素养水平二的要求。

能够运用复数三角形式的乘除运算解决相关问题，熟练进行复数三角形式的运算转换，达到数学运算核心素养水平二的要求。

重点难点

教学重点：复数乘除运算的三角形式及其几何意义，理解模与幅角的变化规律。

教学难点：复数除法三角表示的推导，几何意义上旋转与缩放的逆向理解。

课堂导入

同学们，之前我们已经学习了复数代数形式的乘、除运算。现在想象一下，在一个神秘的数学花园里，复数有着不同的“装扮”，三角形式就是其中很奇妙的一种。比如复数z1=r1(cosθ1+i

复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

探究新知

（一）知识精讲

在复数的运算中，除了代数形式的乘除运算，我们还可以利用复数的三角形式来研究其乘除运算及其几何意义。

设两个复数z1=r1(cosθ1+isinθ1)

我们先来研究复数的乘法运算。根据复数的乘法法则以及三角恒等式，可以进行如下推导：

z

利用两角和的余弦与正弦公式：

cos(θ

于是可以将乘积写成三角形式：

z

这说明，两个复数相乘时，积的模等于两个复数模的乘积，积的幅角等于两个复数幅角的和。

接下来，我们研究复数的除法运算。设z1=r1(cosθ1+isinθ

r

因此可得：

z

这表明，两个复数相除时，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的幅角等于被除数的幅角减去除数的幅角。

此外，复数的乘法还具有几何意义。两个复数相乘时，可以看作是将一个复数对应的向量绕原点旋转另一个复数的幅角，并将其长度放大另一个复数的模倍。如图所示：

（二）师生互动

教师提问1：如果两个复数的模分别为2和3，幅角分别为π6和π

学生回答：乘积的模是2×3=6，幅角是π

教师提问2：如果一个复数的模是4，幅角是π2，另一个复数的模是2，幅角是π

学生回答：商的模是42=2，幅角是π2

教师提问3：你能用几何的方式解释复数相乘的过程吗？

学生回答：可以。复数相乘可以看作是先将一个复数对应的向量绕原点旋转另一个复数的幅角，再将它的长度放大另一个复数的模倍。

（三）设计意图

通过引导学生从三角形式的角度理解复数的乘除运算，帮助学生建立复数运算与三角函数之间的联系，强化其代数与几何的统一认知。在知识目标上，使学生掌握复数乘除运算的三角表示及其几何意义；在能力培养上，通过推导和几何解释，提升学生的逻辑推理能力和空间想象能力；在学习方式上，通过师生互动和问题引导，激发学生主动探究的兴趣，促进其从代数运算向几何直观的迁移；在价值导向上，强调数学知识的系统性和结构性，培养学生严谨的数学思维和对数学本质的理解。

新知应用

例3题目：

已知

z1=32(

解答：

我们使用复数乘法的三角形式公式：

z1z2=

代入公式得：

z1z2=

几何解释：

首先作出与z1、z2对应的向量OZ1、OZ2。

然后将向量OZ1绕原点O按逆时针方向旋转π3（即60°），再将其长度伸长为原来的2倍，得到向量OZ。

总结：

1.题目考查内容

①复数乘法的三角形式运算；

②复数乘法的几何意义（旋转与伸