高中数学人教A版必修第二册8.6.3 平面与平面垂直教学设计.docxVIP

8.6.3平面与平面垂直

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版必修第二册

章节：8.6.3平面与平面垂直

教材分析

本节课通过观察生活实例与几何图形，引入二面角及其平面角的概念，定义平面与平面垂直，并借助长方体模型和建筑工人检测墙面的实例，得出平面与平面垂直的判定定理：若直线a?α且a⊥β，则α⊥β；进而探究其性质定理：若α⊥β，且交线为a，当直线b?β且b⊥

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已掌握直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义与判定方法，具备空间几何的基本直观和逻辑推理能力，对二面角的概念已有初步接触，能够理解角刻画位置关系的思想，高中阶段学生的抽象思维和空间想象能力逐步发展，但仍需借助具体实例如教室墙面与地面的关系来辅助理解抽象定义，本节课要求学生通过类比直线垂直的研究路径，理解二面角及其平面角的概念，掌握平面与平面垂直的判定定理a?α，a⊥β?α⊥β及性质定理的应用，帮助学生构建

教学目标

理解二面角的概念及其表示方法，能够准确描述二面角的棱、面和平面角，达到直观想象核心素养水平一的要求。

掌握平面与平面垂直的定义，能够通过直二面角的概念判断两个平面是否垂直，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。

理解并应用平面与平面垂直的判定定理，能够运用一个平面过另一个平面的垂线的条件证明两个平面垂直，达到逻辑推理核心素养水平三的要求。

掌握平面与平面垂直的性质定理，能够运用该性质解决实际问题，如墙面与地面的垂直关系，达到数学建模核心素养水平二的要求。

理解直线、平面之间垂直关系的相互转化，能够分析不同垂直关系之间的逻辑联系，达到逻辑推理核心素养水平三的要求。

重点难点

教学重点：二面角的概念及其平面角的定义，平面与平面垂直的判定定理α⊥β的性质定理。

课堂导入

同学们，在生活中我们常见到许多垂直关系，比如高楼大厦的墙面与地面。那如何从数学角度定义和研究平面与平面垂直呢？之前我们在研究直线与平面垂直时，借助了直线与直线垂直的知识。类比一下，就像用角刻画直线相交位置关系进而研究垂直一样，我们也需要新的概念来刻画两个相交平面的位置关系，从而研究平面与平面垂直，这个概念就是二面角。大家可以观察教室，墙面与地面能构成多个二面角。今天，我们就一起深入探究平面与平面垂直的相关知识，去揭开它神秘的面纱。

平面与平面垂直

探究新知

（一）知识精讲

在研究空间中两个平面的位置关系时，我们不仅要关注它们是否相交，还要进一步刻画相交后所成的角度。为此，需要引入一个新的几何概念——二面角。类比平面几何中用角来刻画两条相交直线的关系，我们用二面角来刻画两个相交平面之间的相对位置。

如图8.6-21所示，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线称为二面角的棱，两个半平面称为二面角的面。若棱为AB，两个面分别为α、β，则该二面角记作α-AB-β。有时也可在棱外的两个半平面内分别取点P、Q，将二面角记作P-AB-Q

为了度量二面角的大小，我们引入其平面角的概念。如图8.6-23，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作射线OA⊥l、O

二面角的大小由其平面角的度数决定：平面角是多少度，二面角就是多少度。当平面角为直角时，对应的二面角称为直二面角。二面角的平面角θ满足0°

基于此，我们可以定义两个平面之间的垂直关系。一般地，如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥

如何判断两个平面是否垂直？观察建筑工人砌墙时使用铅锤检测墙面是否与地面垂直的方法可知：当铅垂线紧贴墙面时，说明墙面经过地面的一条垂线，从而判定墙面与地面垂直。这一现象揭示了一个重要定理：

平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。

用符号语言表示为：若a?α，且a⊥β

这个定理表明，可以通过“线面垂直”来推导“面面垂直”，是实现位置关系转化的重要工具。

接下来研究两个平面垂直后的性质。已知α⊥β，且α∩β=a，考虑平面β内的一条直线b与交线a

特别地，当b⊥a时，设b∩a=A，过点A在平面α内作直线c⊥a，则∠bac就是二面角α-a-β的平面角。由于α⊥β，该平面角为直角，故b⊥c

由此得到：

平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，也垂直于另一个平面。

符号表示为：若α⊥β，α∩β=a，b?

此外，进一步探究：设α⊥β，点P∈α，过点P作平面β的垂线a，这条垂线a与平面

如图8.6-31，设α∩β=c，过点P在平面α内作直线b⊥c，由上述性质定理可知b⊥β。而过点P只能作一条直线垂直于