高中数学人教A版必修第二册1.余弦定理教学设计.docxVIP

1.余弦定理

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版必修第二册

章节：1.余弦定理

教材分析

本节课围绕余弦定理的推导与应用展开，通过向量数量积的方法，从已知两边及其夹角唯一确定三角形出发，推导出三角形边角关系的重要定理——余弦定理，并进一步得出其推论，揭示了三角形边与角余弦之间的定量关系。教学过程从问题引入，通过向量工具进行逻辑推导，引导学生经历定理的发现与证明过程。本节内容承接了初中勾股定理的学习，同时为后续解三角形、三角函数的应用等内容奠定了基础。通过本节课的学习，学生能够掌握利用余弦定理解三角形的方法，提升逻辑推理与数学建模能力，理解从几何到代数的转化思想，为后续学习三角恒等变换和实际测量问题提供有力工具。

学情分析

学生在之前已经学习了平面向量的基本概念及其运算，掌握了向量数量积的定义与性质，并初步了解了三角形全等的判定方法以及勾股定理等内容，具备了一定的几何推理和代数运算能力。进入高中阶段后，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力逐步提升，能够接受较为复杂的数学推导过程，但在将向量工具与几何问题相结合时仍需引导。本节课通过向量数量积推导余弦定理，不仅加深了学生对三角形边角关系的理解，也提升了他们运用数学工具解决实际问题的能力，同时为后续解三角形及相关应用问题的学习奠定了基础。

教学目标

理解余弦定理的推导过程，能够运用向量数量积的性质进行公式推导，达到数学抽象和逻辑推理核心素养水平二的要求。

掌握余弦定理及其推论的内容，能够准确写出三角形边角关系的三个表达式，达到数学运算核心素养水平一的要求。

能够运用余弦定理解决已知两边及其夹角求第三边的问题，达到数学建模和数学运算核心素养水平二的要求。

理解余弦定理与勾股定理的关系，能够说明余弦定理是勾股定理的推广，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。

能够运用余弦定理的推论计算三角形的三个内角，达到数学运算和逻辑推理核心素养水平二的要求。

重点难点

教学重点：余弦定理的推导过程及其三种形式，利用余弦定理解决已知两边及其夹角求第三边的问题，理解余弦定理与勾股定理的关系。

教学难点：余弦定理的向量推导过程，余弦定理与三角形解的唯一性关系，利用余弦定理解决实际问题中的边角互求问题。

课堂导入

同学们，先来看这样一个实际问题：有一块三角形的土地，已知两条相邻边的长度分别为50米和70米，这两条边的夹角是60°，我们如何求出这块土地的第三边长度呢？在之前学习的知识中，勾股定理只能解决直角三角形的边关系。而这个三角形并非直角三角形，该怎么办呢？其实，这个问题就需要我们今天要学习的余弦定理来解决。它能揭示三角形三边与一个角之间的数量关系。现在，就让我们一起开启探索余弦定理的奇妙之旅吧。

余弦定理

探究新知

（一）知识精讲

在三角形中，若已知两边及其夹角，可以唯一确定一个三角形。那么，如何用这两边及其夹角来表示第三边的长度呢？这就需要我们引入一个新的定理——余弦定理。

我们考虑用向量的方法来推导这个定理。如图6.4-8所示，设CB=a，CA=

我们的目标是用∣a∣、∣b∣和角C来表示

展开后得

∣

又因为a?b=

设三角形三边分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有

c

同理可得

a2=

这就是余弦定理的基本形式。它揭示了三角形中任意一边的平方与其余两边及其夹角之间的关系。

由余弦定理还可以推导出角的表达式：

cosA=b2

这些公式表明，已知三角形的三边，可以求出任意一个角的余弦值，从而求出角的大小。

特别地，当三角形中有一个角为直角时，例如角C=90°，此时

这正是勾股定理的形式。因此，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的一个特例。

（二）师生互动

教师提问：我们已经知道，已知两边及其夹角可以唯一确定一个三角形，那么如果这个夹角是锐角或钝角，第三边的长度会有什么不同？

学生思考并回答：当夹角为锐角时，cosC0

教师追问：如果已知三角形的三边，我们是否可以判断这个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？

学生讨论后回答：可以通过比较最长边的平方与其余两边平方之和来判断。若最长边的平方小于其余两边平方之和，则为锐角三角形；等于则为直角三角形；大于则为钝角三角形。

教师总结：这正是余弦定理的应用之一，它不仅帮助我们定量计算边角关系，还能帮助我们判断三角形的类型。

（三）设计意图

通过向量方法推导余弦定理，使学生理解数学知识之间的内在联系，提升其逻辑推理能力。教学过程中强调从已知边角关系出发，引导学生通过向量运算推导出边的表达式，体现了数学建模的思想。师生互动环节通过提问引导学生思考余弦定理在不同角度下的表现形式，以及如何利用三边判断三角形类型，有助于学生深化对定理的理解，并提升其分析问题和解决问题的能力。整个教学过程注重知识的生成过程，强调数学思维的严谨性与逻辑性，