（人教A版）选择性必修二高二数学同步考点讲与练专题4.4 等比数列的概念（解析版）.docxVIP

专题4.4等比数列的概念（重难点题型精讲）

1．等比数列的概念

2．等比中项

如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.

若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=.

3．等比数列的通项公式

若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0).

4．等比数列的通项公式与指数函数的关系

等比数列{}的通项公式=可以改写为=，当q0且q≠1时，等比数列{}的图象是

指数型函数y=的图象上一些孤立的点.

5．等比数列的单调性

已知等比数列{}的首项为，公比为q，则

(1)当或时，等比数列{}为递增数列；

(2)当或时，等比数列{}为递减数列；

(3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；

(4)当q0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶

数项异号).

6．等比数列的性质

设{}为等比数列，公比为q，则

(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，则.

(2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列，则成等比数列.

(3)数列{}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；

数列{}是公比为的等比数列；

数列{}是公比为的等比数列；

若数列{}是公比为q的等比数列，则数列{}是公比为q·q的等比数列.

(4)在数列{}中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为

.

(5)在数列{}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列.

(6)若数列{}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c0且c≠1)是公差为的等差数列.

【题型1等比数列的基本量的求解】

【方法点拨】

根据所给条件，求解等比数列的基本量，即可得解.

【例1】在等比数列an中，a2+a4=3，

A．4 B．±4 C．2 D．±2

【解题思路】根据等比数列定义两式相除即可得出公比q.

【解答过程】a2+a4=qa1+

故选：A．

【变式1-1】已知等比数列an中，a2=116，a

A．±4 B．±22 C．22

【解题思路】用基本量a1

【解答过程】由题意，设等比数列an的首项为a1，公比为q，由a2

可得a1q=116a

【变式1-2】在等比数列an中，a2a4=64，a

A．2 B．±2 C．2或43 D．

【解题思路】根据等比数列的定义，结合等比中项，建立方程组，可得答案.

【解答过程】设an的公比为q，由a2a4=64a3+a5=40

【变式1-3】在等比数列an中，a1+a3=2，

A．2 B．3 C．13 D．

【解题思路】利用a3+a5=a1

【解答过程】在等比数列an中，由6=a3

所以，a1+a

【题型2等比中项】

【方法点拨】

根据题目条件，结合等比中项的定义，即可得解.

【例2】在等比数列an中，a1=18，q=2，则a

A．±4 B．4 C．?2 D．?4

【解题思路】先通过等比数列的通项公式计算a4

【解答过程】由已知a4a8=a62

【变式2-1】若等比数列的首项为4，公比为2，则数列中第2项与第4项的等比中项为（????）

A．32 B．?16 C．±32 D．±16

【解题思路】根据等比数列的首项和公比可得数列中第2项与第4项，再根据等比中项的定义求解即可

【解答过程】由题，该等比数列为4,8,16,32...，设第2项与第4项的等比中项为x

则x2=8×32=256，故

【变式2-2】若数列2,a,8是等比数列，则实数a的值为（????）

A．4 B．??4 C．±4

【解题思路】由等比中项的性质列方程求得.

【解答过程】由已知得a2=2×8=16，∴

【变式2-3】数列an为等比数列，a1=1，a5=4，命题p:a3=2，命题q:a3是

A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要

【解题思路】根据等比中项的定义结合等比数列的定义判断可得出结论.

【解答过程】因为数列an为等比数列，且a1=1，a5=4

则a3是a1、a5

若a3是a1、a5的等比中项，设an的公比为

因为a32=a1a5=4，故

【题型3等比数列的通项公式】

【方法点拨】

结合所给数列的递推关系，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.

【例3】正项等比数列an满足a1=2，a3=8

A．2n?1 B．2n C．2n+1

【解题思路】利用等比数列的通项公式先求得公比q，从而求得an

【解答过程】因为an是正项等比数列，所以q0，又因为a1=2，a3=8

所以an

【变式3-1】在各项为正的递增等比数列an?中，a1a2a

A．2n+1? B．2

C．3×2n?1? D．

【解题思路】首先根据等比数列的通项公式求a1q2

【解答过程】数列an?为各项为正的