（人教A版）选择性必修二高二数学同步考点讲与练专题5.1 导数的概念及其意义（原卷版）.docxVIP

专题5.1导数的概念及其意义（重难点题型精讲）

1．瞬时速度

(1)平均速度

设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=.

(2)瞬时速度

①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限

是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==.

2．抛物线切线的斜率

(1)抛物线割线的斜率

设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=.

(2)抛物线切线的斜率

一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋

近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==.

3．函数的平均变化率

函数平均变化率的定义

对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x

的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)-f().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率.

4．函数在某点处的导数的几何意义

(1)切线的定义

在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线.

(2)函数在某点处的导数的几何意义

函数y=f(x)在x=处的导数f()就是切线T的斜率，即==f().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为y-f()=f()(x-).

5．导函数的定义

从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y，即f(x)=y=.

【题型1瞬时速度、平均速度】

【方法点拨】

根据瞬时速度、平均速度的定义进行求解即可.

【例1】已知物体做直线运动对应的函数为S=S(t)，其中S表示路程，t表示时间．则S

A．经过4s后物体向前走了10m

B．物体在前4秒内的平均速度为10m/s

C．物体在第4秒内向前走了10m

D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s

【变式1-1】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数st=t2+t+1

A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s

【变式1-2】在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=?4.9t2+4.8t+11.该运动员在t=1s

A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5

【变式1-3】一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s=t2+2t，设其在t∈[2,3]内的平均速度为v1，在t=2时的瞬时速度为v2

A．76 B．73 C．67

【题型2平均变化率】

【方法点拨】

根据题目条件，结合函数的平均变化率的定义，即可得解.

【例2】已知函数fx=x2+2

A．4 B．3 C．2 D．1

【变式2-1】函数fx=?x3+1

A．3 B．2 C．?2 D．?3

【变式2-2】若函数f(x)=x2?t，当1≤x≤m时，平均变化率为2，则m

A．5 B．2 C．3 D．1

【变式2-3】为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（????）

A．在t1

B．在t2

C．在t2

D．在t1,t

【题型3利用导数的定义解题】

【方法点拨】

利用导数的定义，转化求解即可.

【例3】已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为2，则limΔ

A．0 B．12 C．1

【变式3-1】已知f(x)是定义在R上的可导函数，若lim△x→0f(2)?f(2+Δx)2

A．?1 B．?14 C．1

【变式3-2】若函数y=fx在x=x0处的导数为1，则lim

A．2 B．3 C．－2 D．－3

【变式3-3】已知函数fx的定义域为R，若limΔx→0f1+

A．1 B．2 C．3 D．4

【题型4导数的几何意义】

【方法点拨】

根据导数的几何意义，求解曲线在某点处的斜率或切线方程.

【例4】limx→2f(5?x)?3x?2=2,f(3)=3，

A．2x+y+9=0 B．2x+y?9=0

C．?2x+y+9=0 D．?2x+y?9=0

【变式4-1】已知函数y=fx的图像在点M3,f3处的切线方程是y=13

A．1