（人教A版）选择性必修二高二数学同步考点讲与练专题4.2 等差数列的概念（解析版）.docxVIP

专题4.2等差数列的概念（重难点题型精讲）

1．等差数列的概念

(1)等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫

做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.

(2)对等差数列概念的理解

①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.

②由概念可知，如果-()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列.

③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，

那么这个数列不是等差数列.

④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数

列不是等差数列.

⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒.

2．等差中项

由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有

2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.

3．等差数列的通项公式

(1)等差数列的通项公式

等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差.

(2)等差数列通项公式的变形

已知等差数列{}中的任意两项，(n,m,m≠n)，则

-=(n-m)d

4．等差数列与一次函数的关系

由等差数列的通项公式=+(n-1)d，可得=dn+(-d)，当d=0时，=为常数列，当d≠0时，=

+(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{}的图象是直线y=dx+(-d)上一群均匀分布的孤立的点.

5．等差数列的单调性

由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.

①当d0时，数列为递增数列，如图①所示；

②当d0时，数列为递减数列，如图②所示；

③当d=0时，数列为常数列，如图③所示.

因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列.

6．等差数列的性质

设{}为等差数列，公差为d，则

(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+.

(2)数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列.

(3)若{}是公差为d的等差数列，{}与{}的项数一致，则数列{+(,为常数)是公差为

d+d的等差数列.

(4)下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列.

(5)在等差数列{}中，若=m，=n，m≠n，则有=0.

【题型1等差数列的基本量的求解】

【方法点拨】

根据所给条件，求解等差数列的基本量，即可得解.

【例1】已知an为等差数列，若a30=100，a100=30

A．1 B．12 C．?1 D．

【解题思路】根据等差数列对应的点都在一条直线上这个性质求公差．

【解答过程】设an的公差为d，则d=

【变式1-1】已知等差数列an中，a3+a5=18，

A．1 B．2 C．3 D．4

【解题思路】利用等差数列的通项公式得到关于a1,d的方程组，从而求得

【解答过程】因为an是等差数列，所以a1+2d+a1+4d=18a

故选：B.

【变式1-2】已知数列an满足：?m，n∈N*，am+n=am

A．1 B．2 C．3 D．2022

【解题思路】令m=1，则an+1=a

【解答过程】令m=1，则an+1=a1+an

∴an+1?an

【变式1-3】首项为?24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是（????）．

A．d83 B．d3 C．53

【解题思路】根据给定条件，利用等差数列通项公式列式求解作答.

【解答过程】依题意，令该等差数列为{an}

因数列{an}从第10项开始为正数，因此a9≤0

所以公差d的取值范围是83

【题型2等差中项】

【方法点拨】

根据题目条件，结合等差中项的定义，即可得解.

【例2】已知a=4，b=8，则a，b的等差中项为（

A．6 B．5 C．7 D．8

【解题思路】利用等差中项的性质进行求解即可

【解答过程】设a，b的等差中项为m，所以2m=a+b，因为a=4，b=8，所以

【变式2-1】已知a=13+2，b=13?

A．3 B．2 C．33 D．

【解题思路】利用等差中项的定义求解.

【解答过程】由等差中项的定义得：则a，b的的等差中项为：a+b2

故选：A．

【变式2-2】等差数列an的前三项依次为x，2x+1，4x+2，则x的值为（????

A．5x+5 B．2x+1 C．2 D．0

【解题思路】根据等差中项的性质得到方程，解得即可；

【解答过程】解：依题意22x+1=x+4x+2，解得

【变式2-3】设a、m是实数，则“m=5”是“m为a和10?a的等差中项”的（????）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分也非必要条件

【解题思路】利用等差中项