中考数学 代数式的求值求最值及求字母取值范围的方法技巧（解析版）中考复习提优重难点拓展训练.docxVIP

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代数式的求值求最值及求字母取值范围的方法技巧（原卷版）

专题诠释：

代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，七最重要的技巧就是代数式的恒等变形。恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。

类型一利用整体思想求代数式的值

1．若多项式a2﹣3a+1的值为4，则式子﹣6a+2a2﹣7的值等于﹣1．

【思路引领】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．

【完整解答】解：∵a2﹣3a+1＝4，

∴a2﹣3a＝3，

∴当a2﹣3a＝3时，原式＝2（a2﹣3a）﹣7＝2×3﹣7＝﹣1．

故答案为：﹣1．

【总结提升】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．

2．点（a，b）在直线y＝﹣2x+3上，则4a+2b﹣1＝5．

【思路引领】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出b＝﹣2a+3，即2a+b＝3，将其代入“4a+2b﹣1＝2（2a+b）﹣1”中即可求出结论．

【完整解答】解：∵点（a，b）在直线y＝﹣2x+3上，

∴b＝﹣2a+3，即2a+b＝3，

∴4a+2b﹣1＝2（2a+b）﹣1＝2×3﹣1＝5．

故答案为：5．

【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出2a+b＝3是解题的关键．

类型二通过代数式的恒等变形求代数式的值

3．已知：a=3?2，b

（1）a2+2ab+b2

（2）a2b﹣ab2．

【思路引领】（1）利用完全平方和公式分解因式后再代入计算．

（2）先提公因式，再代入计算．

【完整解答】解：当a=3?2，b

（1）a2+2ab+b2，

＝（a+b）2，

＝（3?2+3+

＝（23）2，

＝12；

（2）a2b﹣ab2，

＝ab（a﹣b），

＝（3?2）（3+2）（3?

＝[（3）2﹣22]×（﹣4），

＝﹣1×（﹣4），

＝4．

【总结提升】本题是运用简便方法进行二次根式的化简求值，分解因式是基础，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．

4．阅读下列材料并解答下面的问题：

利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，从而使某些问题得到解决．

例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．

解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19．

通过对例题的理解解决下列问题：

（1）已知a﹣b＝2，ab＝3，求a2+b2的值；

（2）若a+1a=6

（3）若n满足（n﹣2024）2+（2023﹣n）2＝1，求式子（n﹣2024）（2023﹣n）的值．

【思路引领】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；

（2）把已知等式左右两边平方，计算即可求出所求；

（3）原式利用完全平方公式计算即可求出值．

【完整解答】解：（1）∵a﹣b＝2，ab＝3，

∴原式＝（a﹣b）2+2ab

＝4+6

＝10；

（2）把a+1a=6

则a2

（3）∵（n﹣2024）2+（2023﹣n）2＝1，

∴1＝[（n﹣2024）+（2023﹣n）]2

＝（n﹣2024）2+（2023﹣n）2+2（n﹣2024）（2023﹣n），

则（n﹣2024）（2023﹣n）＝0．

【总结提升】此题考查了完全平方式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

类型三通过配方法求代数式的值

5．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数a，b满足﹣a2+5a+b﹣5＝0，则a+b的最小值1．

【思路引领】由已知等式变形表示出a+b，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出最小值即可．

【完整解答】解：∵﹣a2+5a+b﹣5＝0，（a﹣2）2≥0，

∴a+b

＝a2﹣4a+5

＝（a2﹣4a+4）+1

＝（a﹣2）2+1≥1，

当a﹣2＝0，即a＝2时，a+b的最小值为1．

故答案为：1．

【总结提升】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

6．若m，n是方程x2﹣2ax+1＝0且a≥1的两个实数根，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是0．

【思路引领】根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，然后把（m﹣1）2+（n﹣1）2整理成m+n与mn的形式，代入进行计算即可求解．

【完整解答】解：由题意，得m+n＝2a，mn＝1，

则（m﹣1）2+（n﹣1）2

＝m2+n2﹣2（m+n）+2

＝（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2

＝4a2﹣4a，

＝4