2025年下学期高中数学抽象与具体试卷.docVIP

2025年下学期高中数学抽象与具体试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

函数性质与抽象模型

已知函数$f(x)$对任意实数$x,y$满足$f(x+y)=f(x)+f(y)-2$，且$f(1)=3$，则$f(4)$的值为（）

A.10B.12C.14D.16

解析：通过赋值法将抽象函数具体化。令$x=y=1$，得$f(2)=2f(1)-2=4$；令$x=y=2$，得$f(4)=2f(2)-2=6$。此处将抽象的函数方程转化为具体数值运算，体现“抽象公式→具体赋值→结果推导”的思维过程。

空间几何与直观想象

在棱长为2的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，点$P$为棱$CC_1$的中点，则三棱锥$P-ABD$的体积为（）

A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{4}{3}$C.2D.$\frac{8}{3}$

解析：通过构建正方体模型（具体几何体），将抽象的空间点线面关系转化为可度量的体积计算。利用等体积法，$V_{P-ABD}=V_{D-ABP}=\frac{1}{3}S_{\triangleABP}\cdotAD$，代入数据得结果为$\frac{4}{3}$。

数列抽象与递推关系

已知数列${a_n}$满足$a_{n+1}=2a_n+1$，且$a_1=1$，则其通项公式为（）

A.$a_n=2^n-1$B.$a_n=2^{n+1}-1$C.$a_n=2^{n-1}+1$D.$a_n=2^n+1$

解析：将递推公式$a_{n+1}=2a_n+1$转化为具体等比数列模型。构造$b_n=a_n+1$，则$b_{n+1}=2b_n$，即${b_n}$是首项为2、公比为2的等比数列，故$b_n=2^n$，进而得$a_n=2^n-1$。

解析几何与参数方程

已知直线$l$的参数方程为$\begin{cases}x=1+t\cos\alpha\y=2+t\sin\alpha\end{cases}$（$t$为参数），若直线$l$与圆$x^2+y^2=4$相切，则$\tan\alpha$的值为（）

A.$\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\pm\sqrt{3}$C.$\pm1$D.$\pm2$

解析：将抽象参数方程转化为具体代数方程。代入圆的方程得$(1+t\cos\alpha)^2+(2+t\sin\alpha)^2=4$，由相切条件$\Delta=0$，解得$\tan\alpha=\pm\sqrt{3}$。

概率统计与实际应用

某工厂生产的零件尺寸服从正态分布$N(50,4)$，现随机抽取100个零件，其中尺寸在$(48,54]$内的零件个数约为（）（参考数据：$P(\mu-\sigmaX\leq\mu+\sigma)=0.6827$，$P(\mu-2\sigmaX\leq\mu+2\sigma)=0.9545$）

A.81B.84C.87D.95

解析：将抽象正态分布参数转化为具体区间概率。$\mu=50$，$\sigma=2$，则$(48,54]=(50-2,50+4]$，对应概率为$P(\mu-\sigmaX\leq\mu+2\sigma)=0.6827+\frac{0.9545-0.6827}{2}=0.8186$，故零件个数约为$100\times0.8186\approx82$，最接近选项A。

抽象函数与奇偶性

已知定义在$\mathbb{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x+y)=f(x)+f(y)$，且$f(1)=2$，则$f(x)$是（）

A.奇函数且在$\mathbb{R}$上单调递增B.偶函数且在$\mathbb{R}$上单调递增

C.奇函数且在$\mathbb{R}$上单调递减D.偶函数且在$\mathbb{R}$上单调递减

解析：通过赋值法验证奇偶性（令$x=y=0$得$f(0)=0$，令$y=-x$得$f(-x)=-f(x)$），结合$f(1)=20$判断单调性，体现抽象函数性质的具体推导。

立体几何与空间向量

在空间直角坐标系中，平面$\alpha$的一个法向量为$\vec{n}=(2,-1,3)$，点$A(1,2,3)$在平面$\alpha$上，则点$B(2,4,5)$到平面$\alpha$的距离为（）

A.$\frac{\sqrt{14}}{14}$B.$\frac{\sqrt{14}}{7}$C.$\frac{2\sqrt{14}}{7}$D.$\frac{3\sqrt{14}}{7}$

解析：利用空间向量公式$d=\frac{|\vec{AB}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}$，代入$\vec{AB}=(1,2,2