2025年下学期高中数学创新项目设计试卷.docVIP

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2025年下学期高中数学创新项目设计试卷

一、函数建模与校园生活实践(40分)

项目背景

随着智慧校园建设的推进,校园资源的优化配置成为学校管理的重要课题。本项目要求以小组为单位(3-5人),通过实地调研建立函数模型,解决校园生活中的实际问题。

任务要求

问题选择

从以下方向中任选一个,或自主提出与校园生活相关的函数应用问题:

教学楼用电量与时间的关系建模

图书馆借阅量与周几/时段的关系分析

操场人流量与温度/天气的相关性研究

校园共享单车使用频率与投放点位置的关系

数据收集

设计数据记录表,明确自变量(如时间、温度)和因变量(如用电量、人流量)的定义及测量单位

连续收集至少7天的原始数据(样本量不少于30组),需注明数据来源(如后勤处、实地计数、图书馆系统)

对异常数据(如停电导致的用电量突降)进行标注说明

模型构建

使用Excel或GeoGebra绘制散点图,根据数据趋势选择合适的函数模型(线性、二次、指数、对数等)

建立函数表达式(如线性回归方程(y=ax+b)),计算拟合度(R^2)值(保留小数点后三位)

解释模型中参数的实际意义(如用电量模型中(a)的单位为“度/小时”)

应用分析

基于模型预测某特定条件下的结果(如预测温度30℃时的操场人流量)

提出1-2条基于模型的校园管理优化建议(如“根据借阅高峰时段调整图书馆开放时间”)

评分标准

维度

具体要求

分值

数据质量

数据完整(无缺漏值)、记录规范(含单位和时间戳)、异常值处理合理

8分

模型选择

散点图绘制规范,函数类型选择与数据趋势匹配,能解释选择依据

10分

参数计算

函数表达式正确,(R^2)值计算准确((R^2\geq0.7)得基础分,(\geq0.9)加分)

12分

应用价值

预测结果合理,建议具有可操作性(如结合学校实际提出具体措施)

10分

二、立体几何与空间设计(30分)

项目背景

某中学计划新建一个多功能教室,需要设计符合人体工程学的课桌椅摆放方案。本项目要求利用立体几何知识,优化空间利用率并满足教学需求。

任务要求

教室参数

已知教室为长方体结构,长12米,宽8米,高3.5米,门宽1米(位于短边一侧中央),窗户总面积15平方米(分布于两侧长边)。

基础设计

绘制教室俯视图(比例尺1:100),标注门窗位置及尺寸

课桌椅采用标准尺寸:课桌长60cm、宽40cm、高75cm,椅子长40cm、宽35cm。要求桌椅摆放满足:

纵向过道宽度≥60cm(前排桌沿到后排椅背距离)

横向过道宽度≥80cm(两侧靠墙过道≥50cm)

第一排课桌前沿距黑板≥2米

空间优化

设计两种不同的摆放方案(如行列式、小组式),计算每种方案的最大容纳人数

从“视线遮挡”角度分析方案优劣:假设黑板下沿距地面1米,计算最后一排学生看黑板上沿的仰角(精确到1°),要求仰角≤30°

模型验证

用橡皮泥或3D建模软件制作教室模型(比例1:50),拍摄不同角度照片附在报告中

说明如何通过调整桌椅高度或倾斜角度改善视线(需用正切函数计算验证)

评分标准

维度

具体要求

分值

绘图规范

俯视图比例准确,尺寸标注清晰,包含必要图例(门、窗、讲台)

6分

方案可行性

两种方案均满足安全距离要求,容纳人数计算正确(误差≤2人)

8分

几何计算

仰角计算过程完整(需写出(\tan\theta=\frac{对边}{邻边})公式代入过程),结果准确

8分

模型创新性

模型制作精细,能体现空间关系;优化建议具有几何依据(如“倾斜桌面减少遮挡”)

8分

三、概率统计与社会热点分析(30分)

项目背景

近年来,新能源汽车的普及引发了公众对续航里程的关注。某汽车品牌宣称其新款车型在标准工况下的续航里程均值为500公里,方差为100公里2。为验证该宣传的真实性,需通过统计方法进行数据分析。

任务要求

数据获取

从公开渠道收集该车型的实测续航数据(样本量≥20组),数据来源需注明(如汽车论坛、媒体评测报告)

对数据进行预处理:计算样本均值(\bar{x})和方差(s^2),用Q-Q图检验数据是否符合正态分布

假设检验

建立原假设(H_0:\mu=500)公里和备择假设(H_1:\mu\neq500)公里,选择合适的显著性水平(\alpha)(如0.05)

进行t检验,计算检验统计量(t=\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}})和P值,判断是否拒绝原假设

相关性分析

收集对应车辆的充电次数(次/月)数据,绘制续航里程与充电次数的散点图

计算相关系数(r)(保留小数点后三位),判断两者相关性(强/中/弱相关)

报告撰写

用三线表呈现样本统计量(均值、方差、最大值、最小值)

基于检验结果撰写150字的消费者购车建议,需包含统计结论(如“在显著性水平0.05下,未能拒绝续航里程均值为500公里的假设

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