2025年下学期高中数学传播动力学数学试卷.docVIP

2025年下学期高中数学传播动力学数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

已知某病毒在人群中的传播速度满足微分方程$\frac{dN}{dt}=k(N)(M-N)$，其中$N(t)$表示$t$时刻感染人数，$M$为人群总人数，$k(N)$为传播系数。若$k(N)$为常数，则该方程的解对应的曲线类型为（）

A.指数增长曲线

B.逻辑斯蒂增长曲线

C.线性增长曲线

D.二次函数曲线

在网络信息传播模型中，假设每个已传播节点在单位时间内可感染2个未传播节点，初始时有1个传播节点，且节点总数足够大，则第5个单位时间末的传播节点数为（）

A.16

B.32

C.31

D.63

某谣言传播满足$N(t)=\frac{1000}{1+999e^{-0.5t}}$，其中$t$为传播时间（天），则谣言传播的半衰期（即达到最大传播人数一半所需时间）为（）

A.$2\ln999$

B.$\frac{\ln999}{0.5}$

C.$\frac{\ln333}{0.5}$

D.$2\ln3$

在SIR模型中，下列哪个参数组合会导致疫情最终消失（）

A.感染率$\beta=0.8$，恢复率$\gamma=0.2$

B.感染率$\beta=0.3$，恢复率$\gamma=0.5$

C.感染率$\beta=1.2$，恢复率$\gamma=0.4$

D.感染率$\beta=0.6$，恢复率$\gamma=0.1$

某社交网络的传播阈值为$\lambda_c=\frac{\gamma}{\beta\langlek\rangle}$，其中$\langlek\rangle$为平均度。若当前网络$\langlek\rangle=5$，$\beta=0.4$，$\gamma=0.2$，则该网络的传播状态为（）

A.持续传播

B.无法传播

C.临界状态

D.周期性震荡

对于微分方程$\frac{dI}{dt}=0.3I(1-\frac{I}{500})-0.1I$，其平衡解的稳定性为（）

A.$I=0$稳定，$I=333$不稳定

B.$I=0$不稳定，$I=333$稳定

C.两个平衡解均稳定

D.两个平衡解均不稳定

在无标度网络中，节点度分布满足$P(k)\proptok^{-\gamma}$，当$\gamma$取值为（）时，网络具有最强的传播鲁棒性

A.2.1

B.2.5

C.3.0

D.3.5

某信息传播的扩散过程满足$N(t)=N_0e^{rt}(1-e^{-rt})$，则该过程的增长速率最大值出现在（）

A.$t=0$

B.$t=\frac{\ln2}{r}$

C.$t=\frac{1}{r}$

D.$t=\frac{\lnr}{r}$

已知某传染病的基本再生数$R_0=3.2$，则为使疫情得到控制，需要至少接种疫苗的人口比例为（）

A.31.25%

B.68.75%

C.75%

D.90%

在SEIR模型中，E代表的状态是（）

A.易感者（Susceptible）

B.暴露者（Exposed）

C.感染者（Infected）

D.康复者（Recovered）

某舆情传播的影响力函数为$f(x)=x(1-x)(2-x)$，则该函数的极大值点为（）

A.$x=\frac{1}{3}$

B.$x=\frac{2}{3}$

C.$x=1$

D.$x=\frac{1}{2}$

考虑具有时滞的传播模型$\frac{dN}{dt}=rN(t)(1-\frac{N(t-\tau)}{K})$，当$\tau$增大时，系统的稳定性将（）

A.增强

B.减弱

C.不变

D.先增强后减弱

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

某病毒传播满足$\frac{dN}{dt}=0.2N(500-N)$，初始感染人数$N(0)=10$，则$t=1$时的感染人数为________（精确到整数）。

在复杂网络传播中，小世界效应指的是________和________两个特征的结合。

若某谣言在封闭人群中的传播满足$\frac{dN}{dt}=kN(M-N)$，且第1天新增感染100人，第2天新增感染200人，人群总人数$M=1000$，则传播系数$k=$________。

对于SIS模型$\frac{dI}{dt}=\betaI(S)-\gammaI$，当$S$为常数时，模型退化为________方程，其解的表达式为________。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（10分）某地区总人口为10000人，初始有50人感染