2025年下学期高中数学创新实践能力试卷.docVIP

2025年下学期高中数学创新实践能力试卷

一、基础应用题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）

1.函数与导数的实际应用

某科技公司研发的智能温控系统的散热效率(f(t))（单位：(\text{W/℃})）与工作时间(t)（单位：小时）的函数关系为(f(t)=t^3-6t^2+9t+10)，其中(t\in[0,5])。

（1）求系统散热效率最低的时刻及对应效率值；

（2）若该系统的散热功率(P(t)=f(t)\cdot(10-t))，求工作期间功率的最大值。

解析思路：

（1）通过求导(f(t)=3t^2-12t+9)，令导数为零得极值点(t=1)和(t=3)，比较区间端点及极值点函数值，可得(t=3)时散热效率最低，(f(3)=10)。

（2）化简(P(t)=-t^4+16t^3-51t^2+80t+100)，求导后分析单调性，得(t=2)时功率最大，(P(2)=168)。

2.立体几何与空间向量

如图，直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)为(BC)中点。

（1）求证：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；

（2）求二面角(D-AC_1-C)的余弦值。

解析思路：

（1）建立空间直角坐标系，求出平面(ADC_1)的法向量(\vec{n})，证明(\vec{A_1B}\cdot\vec{n}=0)即可。

（2）分别求出平面(ADC_1)和平面(ACC_1)的法向量，利用向量夹角公式求得余弦值为(\frac{\sqrt{6}}{6})。

3.概率与统计

某工厂生产的电子元件寿命(X)（单位：小时）服从正态分布(N(1000,\sigma^2))，现随机抽取100个元件进行测试，得到样本均值(\bar{x}=995)，样本标准差(s=50)。

（1）在显著性水平(\alpha=0.05)下，检验这批元件的平均寿命是否显著低于1000小时；

（2）若元件寿命低于900小时为不合格品，估计该批产品的合格率。

解析思路：

（1）采用(t)检验，计算统计量(t=\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}=-1)，对比临界值(t_{0.05}(99)\approx1.66)，接受原假设。

（2）计算(P(X\geq900)=1-\Phi\left(\frac{900-1000}{50}\right)=1-\Phi(-2)=0.9772)，合格率约为97.72%。

4.数列与数学归纳法

已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2})。

（1）求({a_n})的通项公式；

（2）用数学归纳法证明：(\sum_{k=1}^na_ka_{k+1}2)。

解析思路：

（1）取倒数得(\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2})，故(\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2})，即(a_n=\frac{2}{n+1})。

（2）裂项相消得(\sum_{k=1}^na_ka_{k+1}=2\left(1-\frac{1}{n+2}\right)2)，归纳法证明时注意从(n=k)到(n=k+1)的不等式放缩。

5.解析几何

已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(ab0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，右焦点为(F(2\sqrt{3},0))。

（1）求椭圆(C)的方程；

（2）过点(F)的直线(l)与椭圆交于(A,B)两点，若(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB})，求直线(l)的斜率。

解析思路：

（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(c=2\sqrt{3})，得(a=4)，(b=2)，方程为(\frac{x^2}{