小学奥数课本五年级上册05-01(上).pdfVIP

华罗庚学校数学课本五（年级•修订版）

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第一讲数的整除问题

数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内

容之一。

一、根本概念和知识

1.整除一一约数和倍数

例如：15+3=5,63+7=9

一般地，如a、b、c为整数，b#0,且a+b=c,即整数a除以整除bb（不等于0）,除得的商c正好是整

数而没有余数〔或者说余数是0）,我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b|a.,否则，称为

a不能被b整除，或（b不能整除a）,记作ba。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

例如：上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质

性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

叩：如果cIa,cIb,那么cIa（±b）。

例如:如果2I10,2I6,那么2I（10+6）,

并且2I（10—6）0

性质2：如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即:如果beIa,那么bIa,cIa。

性质3：如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。

即：如果bla,cIa,Hb（,c）=1,那么beIa

o

例如:如果2I28,7I28,且2（,7）=1,

那么2（X7）I28。

性质4：如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。

BP：如果clb,b|a,那么cIa。

例如：如果3|9,9|27,那么3I27。

3数的整除特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.特“征〃包含两方面的意义：一方面，个位数

字是偶数包（括0）的整数，必能被2整除：另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数包（括0）.

下面特“征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3或（9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3或（9）整除。

④能被4或（25）整除的数的特征：末两位数能被4或（25）整除。

例如：1864=1800+64,因为100是4与25的倍数,所以例如是4与25的倍数.又因为4I64,所以1864能

被4整除.但因为2564,所以1864不能被25整除.

⑤能被8或（125）整除的数的特征：末三位数能被8或（125）整除。

例如：29375=29000+375,因为1000是8与125的倍数,所以29000是8与125的倍数.又因为125I375,

所以29375能被125整除.但因为8375,所以829375。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差大（减小）是11的

倍数。

例如：判断123456789这九位数能否被11整除？

解：这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25,偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20.因为

25-20=5,又因为115,所以。

再例如：判断13574是否是11的倍数？

解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：4（+5+1）-7（+3）=0.因为0是任何整

数的倍数，所以11I0.因此13574是11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）

能被7（11或13）整除。

例如：判断1059282是否是7的倍数？

解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282=777