（人教A版）必修第一册高一数学上册期末考点提升练习14 幂函数与对勾函数（解析版）.docxVIP

14幂函数与对勾函数

【方法技巧与总结】

知识点一、幂函数概念

形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．

知识点诠释：

幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．

知识点二、幂函数的图象及性质

1、作出下列函数的图象：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．

知识点诠释：

幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：

（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

知识点三、对勾函数的图象及性质

（1）定义域：；

（2）值域：；

（3）奇偶性：奇函数，函数图象整体呈两个“对勾”的形状，且函数图象关于原点呈中心对称，即；

（4）图象在一、三象限，当时，，（当且仅当取等号），即在时，取最小值；由奇函数性质知：当时，在时，取最大值；

（5）单调性：增区间为，减区间是．

当时，类同．

【题型归纳目录】

题型一：幂函数的定义、性质与图像

题型二：对勾函数的图象及性质

【典型例题】

题型一：幂函数的定义、性质与图像

例1．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数在上单调递减，其函数值集合为，

当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，

当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，

因函数的值域为，则有，解得，

所以实数的取值范围为.

故选：D

例2．已知，则函数的图像不可能是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现.

故选：A

例3．已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设幂函数为，

因为幂函数的图象经过点，

所以，即，

解得，

所以，

则函数的定义域为，所以排除CD，

因为，所以在上为减函数，

所以排除B，

故选：A

例4．已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（????）

A．奇函数 B．偶函数

C．在单调递减 D．定义域为

【答案】C

【解析】设幂函数，

由题意得：，

故，定义域为，故D错误；

定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A，B错误；

由于，故在在单调递减，C正确，

故选：C

例5．（多选题）已知幂函数的图象经过点，则（????）

A．函数为增函数 B．函数为偶函数

C．当时， D．当时，

【答案】ACD

【解析】设幂函数，则，解得，所以，

所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，

因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，

当时，，故C正确，

当时，，

又，所以，D正确．

故选：ACD.

例6．幂函数在上单调递减，则的值为______．

【答案】2

【解析】因为函数是幂函数，

则有，解得或，

当时，函数在上单调递增，不符合题意，

当时，函数在上单调递减，符合题意.

所以的值为

故答案为：

例7．已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．

【答案】

【解析】幂函数在上是减函数，

，解得，

，或．

当时，为偶函数满足条件，

当时，为奇函数不满足条件，

则不等式等价为，即，

在R上为增函数，

，解得：.

故答案为：.

例8．已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．

【答案】＜

【解析】因为函数为幂函数，所以，即，解得m＝－1或m＝2．

当m＝－1时，；当m＝2时，．

因为函数对任意的，，且，满足，

所以函数在上单调递增，

所以，

又，

所以函数是奇函数，且为增函数，

因为，

所以，

所以，即．

故答案为：＜.

例9．已知幂函数的定义域为全体实数R.

(1)求的解析式；

(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.

【解析】（1）∵是幂函数，∴，∴或2.

当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，

∴m＝2,∴.

（2）即，要使此不等式在上恒成立，

令,只需使函数在上的最小值大于0.

∵图象的对称轴为，故在上单调递减，

∴，

由，得，

∴实数k的取值范围是.

例10．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．

【解析】因为幂函数在区间上单调递减，则，得，

又∵，∴或1．

因为函数是偶函数，将分别代入，

当时，，函数为是偶函数，满足条件.

当时，，函数为是偶函数，满足条件.

的解析式为．

例11．已知幂函数在上单调递增，函数．

(1)求实数m的值