（人教A版）必修第一册高一数学上册期末考点提升练习17 指对运算及指对幂比较大小（解析版）.docxVIP

17指对运算及指对幂比较大小

【方法技巧与总结】

知识点一、指对幂比较大小

（1）单调性法

（2）中间量法

（3）分类讨论法

（4）比较法

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若；；；

②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．

【题型归纳目录】

题型一：指对数互化

题型二：换底公式的应用

题型三：利用指对幂函数的单调性比较

题型四：利用中间值比较

题型五：利用换底公式转化后比较

题型六：利用两图像交点转化后比较

题型七：含变量指对幂大小比较

【典型例题】

题型一：指对数互化

例1．设，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】．

故选：A

例2．已知，若，则实数等于（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，则，所以，，解得.

故选：B.

例3．化简的结果为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，故选：C

变式1．若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题得，所以．故选：A．

变式2．若，则的最大值是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】对等号两边同时取对数，得，

即，令，则，

所以，

即的最大值是4（此时，对应）.

故选：D

变式3．已知，，则（????）

A．1 B．2 C．5 D．4

【答案】A

【解析】∵，，∴，，

．故选：A

变式4．若正数a满足，则___________．

【答案】100

【解析】因为正数a满足，所以，即，

所以，解得.故答案为：100.

变式5．，则___________.

【答案】

【解析】因，则，即，解得，

所以.

故答案为：

题型二：换底公式的应用

例4．化简____________

【答案】2

【解析】原式

.

故答案为：2.

例5．已知，则______;

【答案】3

【解析】由题设，，则.

故答案为：3

例6．已知，若，则___________.

【答案】8

【解析】由，且

所以是方程的两根，解得或，

又，所以，即，又

从而，且，则，．所以.

故答案为：8.

变式6．已知且，则m等于（????）

A． B．6 C．12 D．36

【答案】A

【解析】由得，，

，，（负值舍去），故选：A．

变式7．若，则实数的值为（????）

A．4 B．6 C．9 D．12

【答案】A

【解析】∵,

∴，∴．故选：A．

变式8．已知，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为，，所以．故选：D.

变式9．已知，，，，则下列等式一定成立的是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，两式相除得，又，所以.

故选：B.

变式10．已知，则下列能化简为的是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于A，，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，，D错误.

故选：B.

变式11．已知且，则a的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，则，，又，

∴，即，∴.故选：C.

变式12．已知，则的值为（????）

A．1 B．0 C． D．2

【答案】C

【解析】因为，所以，由换底公式和对数的运算性质可得.

故选：C

题型三：利用指对幂函数的单调性比较

例7．已知，则的大小关系为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】∵是减函数，，所以，又，∴．故选：C．

例8．下列大小关系不正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】A选项：，，因为，

又因为指数函数在R上单调递增，所以，即，故A正确；

B选项：，因为，；又因为指数函数在R上单调递减，

所以，故B正确；C选项：因为，，所以，故C错误；

D选项：因为，，所，故D正确；

故选:C.

例9．下列各组不等式正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】对于A,由于，，故,故正确，

对于B,由于为单调递减函数，所以，故错误，

对于C，由于为单调递增函数，所以，故错误，

对于D，由于为单调递增函数，所以，故错误,

故选：A

变式13．已知，，，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题得，，，，因为函数在上单调递增，所以．又因为指数函数在上单调递增，所以．故选:D．

题型四：利用中间值比较

例10．设实数，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，即，

又，即，，所以；故选：C

例11．已知，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】是增函数，故，而，故.故选：A.

例12．已知，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，因为，所以，

因为，即，所以.故选：C

变式14．已