（人教A版）必修第一册高一数学上册期末考点提升练习04 利用基本不等式解决多元最值问题（解析版）.docxVIP

04利用基本不等式解决多元最值问题

【方法技巧与总结】

利用基本不等式求解多元最值的常用技巧

（1）互倒模型

（2）平方和与积的转换

（3）条件等式求范围

（4）换元消元法

【题型归纳目录】

题型一：互倒模型

题型二：平方和与积的转换

题型三：条件等式求范围

题型四：换元消元法

【典型例题】

题型一：互倒模型

例1．若，，则的最小值是（???????）

A．16 B．18 C．20 D．22

【答案】C

【解析】因为，，所以

（当且仅当时，等号成立），所以的最小值是20．

故选：C

例2．设，那么的最小值是___________．

【答案】16

【解析】因，则，当且仅当，即时取“=”，

因此，，当且仅当，即时取“=”，

所以，当时，取最小值16．故答案为：16

例3．已知正实数，且，则的最小值是（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为正实数，，故，

所以，

故，当且仅当时取得等号，故选：C

例4．若正数a，b满足1，则的最小值为__．

【答案】16

【解析】因为正数a，b满足1，则有1，则有，1，即有，

则有16，当且仅当即有b＝2a，又1，

即有a，b＝3，取得最小值，且为16．故答案为：16．

例5．已知实数，，则的最小值为___________．

【答案】【解析】因为，，

所以

当取等号“综上所述：的最小值为；

故答案为：

例6．已知，当取到最小值时，___________．

【答案】【解析】知，当取到最小值时，

由题意知：，

当且仅当，即时取等，故当取到最小值时，．

故答案为：．

例7．已知正数满足，，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】由，得，，

则，

，当且仅当时取“=”，

所以当时，的最小值为．

故答案为：

题型二：平方和与积的转换

例8．是不同时为0的实数，则的最大值为________．

【答案】

【解析】，，当且仅当时取等号，所以的最大值为．故答案为：．

例9．若实数m，n满足，则的最小值是___________．

【答案】【解析】解析：令，则，因为，所以．从而，当且仅当时，等号成立，故的最小值为．故答案为：．

例10．若实数满足，则的最小值为__________．

【答案】4

【解析】，设，则，，，

，

等号在，即，或时成立．所以的最小值为4．

故答案为：4

例11．已知，则的最大值为______．

【答案】

【解析】当时，，当且仅当时，即当时，等号成立．当时，，当且仅当时，即当时，等号成立．因此，当时，取得最大值，即．故答案为：．

例12．若均为正实数，则的最大值是_______．

【答案】

【解析】因为均为正实数，

所以，

当且仅当，即时等号成立．故答案为：．

例13．已知，，，则的最大值为________．

【答案】

【解析】，

，即，当且仅当，即或时，等号成立，

，，的最大值为．

故答案为：．

例14．不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．

【答案】1

【解析】因为，当时取等号，所以

的最大值是，即，解得，所以a的最大值是1．故答案为：

例15．若，，且，则的最小值为（???????）

A．9 B．16 C．49 D．81

【答案】D

【解析】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．故选：D

例16．已知实数，且，则的最大值为______．

【答案】

【解析】由，所以，

又由，

当且仅当时，等号成立，所以．故答案为：．

例17．设且，则的最大值为_______

【答案】

【解析】由题意，由均值不等式，当时，，

当且仅当即时等号成立，故，即

当且仅当即时等号成立故答案为：

例18．已知正实数，，满足，则的最大值为___________．

【答案】

【解析】∵，，为正实数，∴，

∴，当且仅当时，等号成立，∴的最大值为．

故答案为：

例19．已知正实数，满足，则的最小值为________．

【答案】12【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立，

所以，所以的最小值为，

故答案为：．

题型三：条件等式求范围

例20．设，则的最小值等于（）

A．2 B．4 C． D．

【答案】B

【解析】因为，可得且，

所以，当且仅当时，即等号成立，

所以的最小值为．故选：B．

例21．已知实数，满足，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】设，，，可得，

则．

当且仅当，即时，等号成立．故答案为：．

例22．已知，，且，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】因为所以

当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为．

故答案为：

例23．若正数a，b满足，则的最小值是__．

【答案】

【解析】设，则，可得，

所以

，

当且仅当时，等号成立，取得最小值．故答案为：．

例24．若，且满足，则的最小值为_____