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19零点与方程的问题
【方法技巧与总结】
1、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线,,且具有单调性,则函数在区间内只有一个零点.
2、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线,函数在区间内有零点,且函数具有单调性,则
3、零点个数的判断方法
(1)直接法:直接求零点,令,如果能求出解,则有几个不同的解就有几个零点.
(2)定理法:利用零点存在定理,函数的图象在区间上是连续不断的曲线,且,
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
(3)数形结合法:
①单个函数图象:利用图象交点的个数,画出函数的图象,函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数;
②两个函数图象:将函数拆成两个函数和的差,根据,则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.
4、判断函数零点所在区间
(1)将区间端点代入函数求函数的值;
(2)将所得函数值相乘,并进行符号判断;
(3)若符号为正且在该区间内是递增或递减,则函数在该区间内无零点;若符号为负且函数图象连续,则函数在该区间内至少一个零点。
5、已知函数零点个数,求参数取值范围的方法
(1)直接法:利用零点存在的判定定理建立不等式;
(2)数形结合法:转化为两个函数图象的交点问题,再结合图象求参数的取值范围;
(3)分离参数法:分离参数后转化为求函数的值域问题.
【题型归纳目录】
题型一:零点存在性定理与根的分布
题型二:零点个数问题
题型三:零点关系
题型四:零点大小与整数零点问题
【典型例题】
题型一:零点存在性定理与根的分布
例1.函数的零点所在区间是(????)
A. B. C. D.
例2.方程的根所在的区间是(????)
A. B. C. D.
例3.函数的零点所在区间为(????)
A. B. C. D.
变式1.已知实数,关于x的方程有两个实根,,且,则实数a,b,,的大小关系为(????)
A. B.
C. D.
变式2.已知一元二次方程有两个实数根,,且,则m的值为(????)
A.-4 B.-5 C.-6 D.-7
变式3.已知函数的零点至少有一个大于0,则实数的取值范围为(????)
A. B.
C. D.
变式4.已知函数在区间上存在零点,则实数的取值范围是()
A.B.
C.D.
变式5.函数在上存在零点,则实数a的取值范围是(????)
A. B.或 C. D.或
变式6.已知定义在上的函数的图像连续不断,若存在常数,使得对于任意的实数恒成立,则称是“回旋函数”.若函数是“回旋函数”,且,则在上(????)
A.至多有2022个零点 B.至多有1011个零点
C.至少有2022个零点 D.至少有1011个零点
变式7.已知函数,,的零点分别为,,,以下说法正确的是(????)
A. B. C. D.
变式8.方程的根,,则=___________
题型二:零点个数问题
例4.已知函数,若在上单调递增,且有两个零点,则满足题意的一个实数的值可以为______.
例5.函数的零点个数为________.
例6.已知函数定义城为,恒有,时;若函数有4个零点,则t的取值范围为______.
变式9.已知函数
(1)求和的值
(2)若函数,试讨论函数的零点个数.
变式10.已知函数是定义域为的偶函数,当时,.
(1)求函数的解析式.
(2)讨论直线与曲线的交点个数.
变式11.已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为,例如:,则方程的正实数根的个数是(????)
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
变式12.定义在R上的函数满足,且当时,,若在区间上函数恰有4个不同的零点,则实数m的取值范围为(????)
A. B. C. D.
变式13.已知函数,若函数有四个不同的零点,则实数的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
题型三:零点关系
例7.已知函数有两个零点,,则有
A. B. C. D.
例8.已知函数有两个零点,,则有
A. B. C. D.
例9.设定义域为的函数,若关于的方程有三个不同的解,,,则的值是
A.1 B.3 C.5 D.10
变式14.已知,,,,若函数的两个零点是,,则的最小值是
A. B. C. D.
变式15.已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称,当时,,则方程在,内的所有根之和为
A.12 B.6 C.4 D.2
变式16.设定义域为的函数,若关于的方程有5个不同的解,,,,,则.
变式17.设定义域为的函数,若关于的方程有5个不同的实数解,则值为.
变式18.已知,,若关于的不等式的解集为,,,,则的取值范围为.
变式19.已知函数,若方程有两个不同的实根,,且满足,则实
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