（人教A版）必修第一册高一数学上册期末考点提升练习18 函数的应用（解析版）.docxVIP

18函数的应用

【方法技巧与总结】

知识点一、几种常见的函数模型

1、一次函数模型：（，为常数，）

2、二次函数模型：（为常数，）

3、指数函数模型：（为常数，，且）

4、对数函数模型：（为常数，，且）

5、幂函数模型：（为常数，）

6、分段函数模型：

知识点二、解答应用问题的基本思想和步骤

1、解应用题的基本思想

2、解答函数应用题的基本步骤

求解函数应用题时一般按以下几步进行：

第一步：审题

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．

第二步：建模

在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求．

第三步：求模

运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果．

第四步：还原

把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景．

上述四步可概括为以下流程：

实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）．

【题型归纳目录】

题型一：几类不同增长的函数模型

题型二：二次函数模型

题型三：分段函数模型

题型四：分式型函数模型

题型五：对数函数模型

题型六：幂函数模型

题型七：利用给定函数模型解决实际问题

【典型例题】

题型一：几类不同增长的函数模型

例1．某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本单位：元与上市时间（单位：天）的数据如下表：

时间

50

120

150

种植成本

2600

500

2600

由表知，体现与数据关系的最佳函数模型是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；而A，C，D对应的函数，在时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，所以，选取B，故选：B．

例2．已知三个变量，，随变量的变化数据如下表：

1

2

4

6

8

…

2

4

16

64

256

…

1

4

16

36

64

…

0

1

2

2.585

3

…

则反映，，随x变化情况拟合较好的一组函数模型是（）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】B

【解析】从题表可以看出，三个变量，，都随x的增大而增大，但是增长速度不同，其中变量的增长呈指数函数型变化，变量的增长呈幂函数型变化，变量的增长呈对数函数型变化．此外，也可以使用第五组数据代入检验得到答案.故选：B.

例3．下列函数中，当很大时，随的增大而增大速度最快的是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，当很大时，指数函数增长速度大于一次函数的增长速度，一次函数的增长速度大于对数函数的增长速度，又，所以当很大时，随的增大而增大速度最快的是.故选：A

变式1．下面对函数，与在区间上的衰减情况的叙述正确的是（????）

A．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢

B．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快

C．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢

D．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快

【答案】C

【解析】由函数，与在区间上的图象以及性质知函数，，的衰减速度均逐渐变慢，故选:C．

变式2．在一次数学实验中，采集到如下一组数据：

－2

－1

0

1

2

3

0.24

0.51

1

2.02

3.98

8.02

则，的函数关系与下列各类函数最接近的是（其中，为待定系数）（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题表中的数据描点如图所示．

∵对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，∴A不成立；

∵C是偶函数，∴的函数值应该相等，∴C不成立；∵时，无意义，∴D不成立；

对于B，当时，，当时，，经验证它与各数据比较接近.故选：B.

题型二：二次函数模型

例4．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离，在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离与汽车的车速满足下列关系：（为常数，且），做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中．

(1)求的值；

(2)要使刹车距离不超过，则行驶的最大速度是多少？

【解析】（1）观察图象知，，而，即，解得，

因，于是得，所以的值为6.

（2）由（1）知，，当时，，整理得：，

解得，显然，因此，即，所以行驶的最大速度是.

例5．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益（单位：元）函数为，其中是仪器的产量（单位：台）

(1)将利润（单位：元）表示为产