（人教A版）必修第一册高一数学上册期末考点提升练习14 幂函数与对勾函数（原卷版）.docxVIP

14幂函数与对勾函数

【方法技巧与总结】

知识点一、幂函数概念

形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．

知识点诠释：

幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．

知识点二、幂函数的图象及性质

1、作出下列函数的图象：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．

知识点诠释：

幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：

（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

知识点三、对勾函数的图象及性质

（1）定义域：；

（2）值域：；

（3）奇偶性：奇函数，函数图象整体呈两个“对勾”的形状，且函数图象关于原点呈中心对称，即；

（4）图象在一、三象限，当时，，（当且仅当取等号），即在时，取最小值；由奇函数性质知：当时，在时，取最大值；

（5）单调性：增区间为，减区间是．

当时，类同．

【题型归纳目录】

题型一：幂函数的定义、性质与图像

题型二：对勾函数的图象及性质

【典型例题】

题型一：幂函数的定义、性质与图像

例1．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

例2．已知，则函数的图像不可能是（????）

A． B．

C． D．

例3．已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（????）

A． B．

C． D．

例4．已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（????）

A．奇函数 B．偶函数

C．在单调递减 D．定义域为

例5．（多选题）已知幂函数的图象经过点，则（????）

A．函数为增函数 B．函数为偶函数

C．当时， D．当时，

例6．幂函数在上单调递减，则的值为______．

例7．已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．

例8．已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．

例9．已知幂函数的定义域为全体实数R.

(1)求的解析式；

(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.

例10．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．

例11．已知幂函数在上单调递增，函数．

(1)求实数m的值；

(2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围．

例12．已知幂函数的图象经过点，则______，若，则实数的取值范围是______．

题型二：对勾函数的图象及性质

例13．因函数的图象形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”，该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数．

(1)若函数，，求的最值；

(2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；

(3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．

例14．因函数(t0)的图象形状象对勾，我们称形如“(t0)”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在(0,]上是减函数，在(,+)上是增函数.

（1）已知利用上述性质，求函数的单调区间和值域；

（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意[1,3]，总存在[1,3]，使得成立，求实数m的取值范围.

例15．已知（双勾函数）．

（1）利用函数的单调性证明在上的单调性；

（2）证明f（x）的奇偶性；

（3）画出的简图，并直接写出它单调区间．

例16．形如的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则________.

例17．已知勾函数在和内均为增函数，在和内均为减函数．若勾函数在整数集合内为增函数，则实数的取值范围为___________．

【过关测试】

一、单选题

1．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

2．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（????）

A．－1 B．－1或3 C．3 D．2

3．若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是（????）

A．为奇函数

B．若，则

C．为偶函数

D．若，则

4．已知函数是幂函数，且时，f(x)是增函数，则m的值为（????）

A．-1 B．2 C．-1或2 D．3

5．已知，若，则（???????）

A．－2 B．－1 C． D．2

6．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（????）

A．恒大于0 B．恒小于0

C．等于0 D．无法判断

7．已知函数，若，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D