线性代数电子教案 4.1 内积与正交性.docVIP

第四单元特征值特征向量

第1次课程教案2课时

教学内容

向量的内积、长度及正交性

教学目标

1.掌握向量的内积、向量长的概念；

2.掌握正交矩阵和正交变换的定义；

3.理解标准正交向量组的概念，能够运用正交化公式将线性无关的向量组标准正交化.

重点难点

用正交化公式将线性无关的向量组标准正交化

教学条件环境

多媒体教室；粉笔；ppt课件

教学方式

课堂讲授；￡混合式教学；□讲授；￡案例教学；￡分组教学；□实验演示；□作业讲评；□实践教学；□其他活动

教学过程设计

教学环节

与时间分配

教学内容

互动

设计

导入

（5分）

特征值和特征向量是矩阵理论中的最基本概念之一，有着广泛的应用。在许多理论问题和实际问题中，常常需要把矩阵简化，这就需要研究矩阵的特征值与特征向量的概念和性质。

互相讨论

自由回答

正文讲授

（75分）

一、向量的内积与模长

定义1设有维向量令

称为向量与的内积.

易知,.

内积具有下列性质：

1.;

2.；

3.;

4.，当且仅当时时.

其中是为向量，为实数.

定义2非负实数称为维向量的长度（范数）.

向量的长度具有性质：

1.

2.

3.

长为1的向量称为单位向量.若向量,则是单位向量.

例1.都是3维单位向量.

二、正交向量组

如果，那么称向量与正交.

正交向量组:一组两两正交的非零向量.

例2.试求一个非零向量与向量都正交.

解：设所求的向量为那么它应满足

由得，取向量即为所求.

定理1正交向量组必线性无关.

证明设向量组是正交向量组,若有一组数使

以左乘上式两边，得因为，所以，因此必有.

类似的可证

于是向量组线性无关.

例3.向量组线性无关，但不为正交向量组.

标准正交向量组:由单位向量构成的正交向量组.

向量组为标准正交向量组，当且仅当

设向量组线性无关，则必有标准正交向量组与等价.

正交化：

取

单位化：

于是，是标准正交向量组，且与等价.

例4.把向量组标准正交化.

解：正交化：取；

再单位化：取

即为所求.

例5.已知，求向量使为正交向量组.

解：因为向量都与向量正交，所以对齐次方程组，取它的一个基础解系

再把正交化即为所求.也就是取

向量组是所求正交向量组.

定义3设维向量是向量空间的一个基,如果向量组为标准正交向量组，则称是的一个标准正交基.

三、正交矩阵

定义4如果阶矩阵满足，那么称为正交矩阵.

例6.都是正交矩阵.

阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是的列（行）向量组是标准正交向量组.

或者说,阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是的列（行）向量组构成向量空间的一个标准正交基.

设阶矩阵,其中是的列向量组.

为正交矩阵，即是

亦记

由此可见，为正交矩阵的充分必要条件是的列（行）向量组是标准正交向量组.

变量与变量之间的关系式

叫做从变量到变量的线性变换.

线性变换的系数构成矩阵于是线性变换（＊）就可以记为

定义5若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换.

正交变换具有下列性质：

(1)正交变换保持两向量内积不变;

(2)正交变换保持向量的长度不变(保距性);

(3)正交变换保持向量的夹角不变(保角性);

(4)正交变换把标准正交基仍变为标准正交基.

例7.与都为正交变换.

若线性变换为正交变换，为任意两个向量.那么这是因为特别的，

学生思考

学生倾听

学生回答

课堂小结

（10分）

用正交化公式将线性无关的向量组标准正交化的步骤

学生回答

课后作业

目标达成度的主要观测点

正交矩阵和正交变换的定义

能够运用施米特正交化公式将线性无关的向量组标准正交化

教后小结