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第五单元二次型
第2次课程教案2课时
教学内容
用配方法化二次型成标准形、正定二次型
教学目标
1.掌握配方法化二次型成标准形的方法;
2.掌握正（负）定二次型概念;
3.能够判断实二次型是否为正定的.
重点难点
配方法化二次型成标准形的方法，判断实二次型是否为正定的
教学条件环境
多媒体教室；粉笔；ppt课件
教学方式
课堂讲授；￡混合式教学；□讲授；￡案例教学；￡分组教学；□实验演示；□作业讲评；□实践教学；□其他活动
教学过程设计
教学环节
与时间分配
教学内容
互动
设计
导入
（5分）
用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．
互相讨论
自由回答
正文讲授
（75分）
一、配方法化二次型成标准形
例1．化二次型为标准形,并求所用的变换矩阵.
，
就把化成标准形
所用线性变换矩阵为
例2．化二次型
解：令，代入，再配方可得
就有
所用变换矩阵为
定理1设实二次型,它的秩为,有两个可逆变换及使
和
则中正数的个数与中正数的个数相等．
注：这个定理称为惯性定理，不证明。
二、正定二次型及其判定
定义1设有二次型,如果对任何,都有(显然),则称为正定二次型，并称对称阵是正定的；如果对任何,都有,则称为负定二次型，并称对称阵是负定的
定理2元实二次型,为正定的充分必要条件是：它的标准形的个系数全为正.
证明：设可逆变换使
先证充分性.
设.任给，因为是可逆矩阵,故,即二次型为正定的.
再证必要性.
用反证法.假设有,则当时，其中是第个分量为其余分量都为0的维向量.这与为正定相矛盾.因而.
推论对称矩阵为正定的充分必要条件是:的特征值全为正．
定理3对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是：的各阶主子式都为正.即
对称矩阵为负定矩阵的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即
.
这个定理称为霍尔维茨定理。
注：不证明.
例3.判别二次型
是否正定.
例4.判别二次型是否正定.
（正定）
例5.判别二次型的正定性.
解:的矩阵为
各阶顺序主子式：
故是负定二次型.
学生思考
学生倾听
学生回答
课堂小结
（10分）
配方法化二次型成标准形的方法
实二次型是否为正定的判断
学生回答
课后作业
目标达成度的主要观测点
配方法化二次型成标准形的方法
能够判断实二次型是否为正定的
教后小结
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