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第五单元二次型
第1次课程教案2课时
教学内容
二次型及其标准形
教学目标
1.掌握二次型、二次型的标准形、合同等概念；
2.会用正交变换将二次型化为标准形.
重点难点
用正交变换化二次型成标准型
教学条件环境
多媒体教室；粉笔；ppt课件
教学方式
课堂讲授；￡混合式教学；□讲授；￡案例教学；￡分组教学；□实验演示；□作业讲评；□实践教学；□其他活动
教学过程设计
教学环节
与时间分配
教学内容
互动
设计
导入
（5分）
在科学技术、经济管理的许多领域中会遇到需要把一个二次多项式化为仅含有完全平方项的和的形式，以便研究有关性质。
互相讨论
自由回答
正文讲授
（75分）
变量的二次齐次多项式
称为元二次型,简称为二次型．
：称为实二次型
一、二次型的概念
定义1含有个变量的二次齐次函数
=
称为二次型.
1．矩阵表示：于是(1)式可写成
对二次型(1),记
则二次型(1)又表示为
其中为对称矩阵,叫做二次型的矩阵,也把叫做对称矩阵的二次型.对称矩阵的秩,叫做二次型的秩.
2．标准形：二次型经过可逆的线性变换
即用(3)代入(1),还是变成二次型.那么新二次型的矩阵与原二次型的矩阵A的关系是什么？
找可逆线性变换,即
使得.
3．合同矩阵
可逆线性变换(3),记作,把可逆的线性变换代入二次型，得二次型
就是说,若原二次型的矩阵为,那么新二次型的矩阵为,其中是所用可逆线性变换的矩阵．
定义2设和是n阶矩阵,若有可逆矩阵C,使得,则称矩阵和B合同。
结论:设有可逆矩阵,使,如果为对称矩阵,则也为对称矩阵,且.
证明因为是对称矩阵,即,所以
,
即为对称矩阵.
因为,所以.
因为,
所以,故得.
二、化二次型为标准形
主要问题：求可逆的线性变换
将二次型(1)化为只含平方项,即用(3)代入(1),能使
称（4）为二次型的标准形.（二次型的标准型不唯一）
也就是说,已知对称矩阵,求一个可逆矩阵C使为对角矩阵.
定理1总有正交变换,使化为标准形
,
例1.写出二次型的矩阵.
解:二次型的矩阵为
例2.求一个正交变换,把二次型
化为标准形.
解:的矩阵
的特征多项式
求正交矩阵和对角矩阵,使得：
,
正交变换：标准形.
学生思考
学生倾听
学生回答
课堂小结
（10分）
用正交变换化二次型成标准形的方法及步骤
学生回答
课后作业
目标达成度的主要观测点
正交变换将二次型化为标准形
教后小结
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