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2025年江苏省高等数学专升本考试练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，下列结论正确的是（）

A.f(x)在x=1处取得极大值

B.f(x)在x=1处取得极小值

C.f(x)在x=1处取得极大值

D.f(x)在x=1处取得极小值

答案：A

解析：f(x)=3x^23，f(1)=0，f(x)=6x，f(1)=60，所以f(x)在x=1处取得极大值。

2.设函数f(x)=e^xsin(x)，下列结论正确的是（）

A.f(x)在x=0处取得极值

B.f(x)在x=π处取得极值

C.f(x)在x=π/2处取得极值

D.f(x)在x=3π/2处取得极值

答案：C

解析：f(x)=e^x(cos(x)+sin(x))，f(π/2)=0，f(x)=e^x(sin(x)+cos(x))，f(π/2)=e^(π/2)0，所以f(x)在x=π/2处取得极值。

3.设函数f(x)=x^24x+3，下列结论正确的是（）

A.f(x)在x=1处取得极大值

B.f(x)在x=2处取得极小值

C.f(x)在x=2处取得极大值

D.f(x)在x=1处取得极小值

答案：B

解析：f(x)=2x4，f(2)=0，f(x)=2，f(2)=20，所以f(x)在x=2处取得极小值。

4.设函数f(x)=x^36x^2+9x1，下列结论正确的是（）

A.f(x)在x=1处取得极大值

B.f(x)在x=2处取得极小值

C.f(x)在x=3处取得极大值

D.f(x)在x=3处取得极小值

答案：C

解析：f(x)=3x^212x+9，f(3)=0，f(x)=6x12，f(3)=60，所以f(x)在x=3处取得极大值。

5.设函数f(x)=x^44x^3+6x^24x+1，下列结论正确的是（）

A.f(x)在x=0处取得极大值

B.f(x)在x=1处取得极小值

C.f(x)在x=2处取得极大值

D.f(x)在x=2处取得极小值

答案：B

解析：f(x)=4x^312x^2+12x4，f(1)=0，f(x)=12x^224x+12，f(1)=0，f(x)=24x24，f(1)=0，f(x)=240，所以f(x)在x=1处取得极小值。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+2，求f(x)的极值点及极值。

答案：极小值点x=2，极小值2；极大值点x=0，极大值2。

2.设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的极值点及极值。

答案：极小值点x=1，极小值1/e。

3.设函数f(x)=x^33x^2+3x1，求f(x)的极值点及极值。

答案：极大值点x=1，极大值1；极小值点x=2，极小值1。

4.设函数f(x)=x^24x+4，求f(x)的极值点及极值。

答案：无极值点，f(x)在整个实数范围内单调递减。

5.设函数f(x)=x^36x^2+9x1，求f(x)的极值点及极值。

答案：极大值点x=1，极大值3；极小值点x=3，极小值1。

三、解答题（每题25分，共75分）

1.设函数f(x)=x^36x^2+9x1，求f(x)的单调区间。

答案：f(x)在(∞,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增。

解析：f(x)=3x^212x+9，令f(x)=0，得x=1和x=3。根据f(x)的符号变化，可得f(x)的单调区间。

2.设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的单调区间。

答案：f(x)在(∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。

解析：f(x)=2xe^x+x^2e^x，令f(x)=0，得x=0。根据f(x)的符号变化，可得f(x)的单调区间。

3.设函数f(x)=x^33x^2+3x1，证明f(x)在实数范围内至少有两个极值点。

答案：证明如下：

首先，求f(x)=3x^26x+3，令f(x)=0，得x=1。

然后，求f(x)=6x6，令f(x)=0，得x=1。

因此，f(x)在x=1处有一个极值点。由于f(x)是三次多项式函数，且f(x)在x=1两侧的符号发生变化，因此f(x)在实数范围内至少有两个极值点。