2025年江苏省高数一（专升本）真题及答案.docxVIP

2025年江苏省高数一（专升本）练习题及答案

一、填空题

1.若函数\(f(x)=x^33x^2+4\)在\(x=2\)处取得极值，则其极值类型为_________，极值为_________。

答案：极大值；4

解析：求导得\(f(x)=3x^26x\)，令\(f(x)=0\)，解得\(x=0\)和\(x=2\)。再次求导得\(f(x)=6x6\)，代入\(x=2\)，得\(f(2)=6\)。因为\(f(2)0\)，所以\(x=2\)处为极大值点，极值为\(f(2)=2^33\cdot2^2+4=4\)。

2.设函数\(y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)，则\(y\)的值为_________。

答案：\(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\)

解析：利用复合函数的求导法则，设\(u=x+\sqrt{x^2+1}\)，则\(y=\ln(u)\)，求导得\(y=\frac{1}{u}\cdotu\)，其中\(u=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)，所以\(y=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\)。

3.若\(\int_0^2(3x^2+2x+1)\,dx=a\)，则\(a\)的值为_________。

答案：10

解析：对被积函数进行积分，得\(\int_0^2(3x^2+2x+1)\,dx=\left[x^3+x^2+x\right]_0^2=8+4+2000=14\)。但题目中给出\(\int_0^2(3x^2+2x+1)\,dx=a\)，所以\(a=10\)。

二、选择题

4.设函数\(f(x)=e^x\cdot\sin(x)\)，则\(f(x)\)的表达式为（）

A.\(e^x\cdot\sin(x)+e^x\cdot\cos(x)\)

B.\(e^x\cdot\sin(x)e^x\cdot\cos(x)\)

C.\(e^x\cdot\sin(x)+2e^x\cdot\cos(x)\)

D.\(e^x\cdot\sin(x)2e^x\cdot\cos(x)\)

答案：C

解析：利用复合函数的求导法则，求\(f(x)\)得\(f(x)=e^x\cdot\sin(x)+e^x\cdot\cos(x)\)。再次求导得\(f(x)=e^x\cdot\sin(x)+e^x\cdot\cos(x)+e^x\cdot\cos(x)e^x\cdot\sin(x)=2e^x\cdot\cos(x)\)。所以正确答案是C。

5.下列积分中，哪一个积分的值为0？（）

A.\(\int_0^2x\,dx\)

B.\(\int_0^2x^2\,dx\)

C.\(\int_0^2x^3\,dx\)

D.\(\int_0^2x^4\,dx\)

答案：C

解析：由于\(x^3\)是奇函数，且积分区间\([0,2]\)关于原点对称，所以\(\int_0^2x^3\,dx=0\)。其他选项的被积函数都是偶函数，积分值不为0。

三、解答题

6.设函数\(f(x)=x^33x^2+4\)，求\(f(x)\)的单调区间。

答案：单调增区间为\((\infty,1)\)和\((2,+\infty)\)，单调减区间为\((1,2)\)。

解析：求导得\(f(x)=3x^26x\)。令\(f(x)=0\)，解得\(x=0\)和\(x=2\)。通过分析\(f(x)\)的符号变化，可以得出\(f(x)\)在\((\infty,1)\)和\((2,+\infty)\)上单调增，在\((1,2)\)上单调减。

7.计算不定积分\(\int(3x^2+2x+1)\,dx\)。

答案：\(x^3+x^2+x+C\)，其中\(C\)为任意常数。

解