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2025年江苏省高数一（专升本）考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=(x^22x+1)^2，求f(x)的极值点。

A.x=0，x=2

B.x=1

C.x=0，x=1，x=2

D.无极值点

答案：C

解析：f(x)=(x^22x+1)^2=(x1)^4，对f(x)求导得f(x)=4(x1)^3。令f(x)=0，解得x=1。当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0。所以x=1是f(x)的极值点。同时，f(x)在x=0和x=2处也取极值。

2.设函数f(x)=x^33x^2+2x1，求f(x)的单调区间。

A.单调递增区间(∞,1)，单调递减区间(1,+∞)

B.单调递增区间(∞,2)，单调递减区间(2,+∞)

C.单调递增区间(∞,0)，单调递减区间(0,+∞)

D.单调递增区间(∞,1)，单调递减区间(1,2)和(2,+∞)

答案：B

解析：f(x)=3x^26x+2。令f(x)=0，解得x=1或x=2。当x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0。所以f(x)的单调递增区间为(∞,1)和(2,+∞)，单调递减区间为(1,2)。

3.设函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求f(x)的周期。

A.π

B.2π

C.1

D.2

答案：B

解析：sin(x)和cos(x)的周期均为2π，所以f(x)的周期为2π。

4.设函数f(x)=x^3+3x^22x2，求f(x)的拐点。

A.(0,2)

B.(1,2)

C.(2,4)

D.(1,2)

答案：C

解析：f(x)=3x^2+6x2，f(x)=6x+6。令f(x)=0，解得x=1。当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0。所以f(x)的拐点为(1,f(1))，即(1,4)。

5.设函数f(x)=e^x，求f(x)在x=0处的泰勒展开式的前三项。

A.1+x+x^2

B.1x+x^2

C.1+xx^2

D.1xx^2

答案：A

解析：f(x)=e^x，f(x)=e^x，f(x)=e^x。所以f(0)=1，f(0)=1，f(0)=1。f(x)在x=0处的泰勒展开式为f(x)=f(0)+f(0)x+(f(0)/2)x^2=1+x+x^2。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.设函数f(x)=x^2+2x+3，求f(x)的极值点坐标。

答案：(1,4)

7.设函数f(x)=x^36x^2+9x1，求f(x)的单调递增区间。

答案：(∞,2)和(3,+∞)

8.设函数f(x)=sin(2x)，求f(x)的周期。

答案：π

9.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的拐点坐标。

答案：(2,4)

10.设函数f(x)=ln(x)，求f(x)在x=1处的泰勒展开式的前三项。

答案：x1(x1)^2/2

三、解答题（共50分）

11.（10分）设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的单调区间和极值点。

解：f(x)=3x^26x，令f(x)=0，解得x=0或x=2。当x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0。所以f(x)的单调递增区间为(∞,0)和(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。f(x)的极值点为(0,4)和(2,4)。

12.（15分）设函数f(x)=e^xsin(x)，求f(x)的周期。

解：sin(x)的周期为2π，e^x的周期为无穷大。所以f(x)的周期为2π。

13.（15分）设函数f(x)=x^44x^3+6x^24x+1，求f(x)的二阶导数。

解：f(x)=4x^312x^2+12x4，f(x)=12x^224x+12。

14.（10分）设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的泰勒展开式的前三项。

解：f(x)=(2x+x^2)e^x，f(x)=(2+4x+x^2)e^x。f(0)=0，f(0)=0，f(0)=2。f(x)的泰勒展开式的前三项为f(x)=0