2025年江苏省高等数学（专升本）真题及答案.docxVIP

2025年江苏省高等数学（专升本）练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+2x1，则f(x)在区间（∞，+∞）内（）

A.有一个极小值点

B.有两个极值点

C.有三个极值点

D.没有极值点

答案：B

解析：f(x)=3x^26x+2。令f(x)=0，解得x=1±√(12/3)=1±√(1/3)。f(x)在x=1√(1/3)和x=1+√(1/3)处变号，所以f(x)在这两个点处有极值。

2.设函数y=f(x)在x=x0处有极值，则必有（）

A.f(x0)=0

B.f(x0)不存在

C.f(x0)=0

D.f(x0)不存在

答案：A

解析：根据费马定理，函数在极值点处的导数为0。

3.设函数f(x)=sinx+cosx，则f(x)在区间（0，π）内的最大值为（）

A.√2

B.1

C.√3

D.2

答案：A

解析：f(x)=cosxsinx。令f(x)=0，解得x=π/4。f(x)在区间（0，π）内单调递增，所以f(x)在x=π/4处取得最大值，即f(π/4)=√2。

4.设函数f(x)=x^2+2x+3，则f(x)在区间[2,2]上的最小值点为（）

A.x=2

B.x=0

C.x=1

D.x=2

答案：A

解析：f(x)=2x+2。令f(x)=0，解得x=1。f(x)在区间[2,2]上单调递减，所以f(x)在x=2处取得最小值。

5.设函数f(x)=e^x2x，则f(x)在区间（∞，+∞）内（）

A.有一个零点

B.有两个零点

C.有三个零点

D.没有零点

答案：A

解析：f(x)=e^x2。令f(x)=0，解得x=ln2。f(x)在区间（∞，ln2）内单调递减，在区间（ln2，+∞）内单调递增，所以f(x)在x=ln2处取得最小值，且f(x)在x=0处有一个零点。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数f(x)=x^36x^2+9x1在x=2处的二阶导数为______。

答案：12

解析：f(x)=3x^212x+9，f(x)=6x12。所以f(2)=6212=12。

2.函数f(x)=sinx在x=π/6处的切线方程为______。

答案：y=(√3/2)x(√3/4)

解析：f(x)=cosx。f(π/6)=√3/2。切线方程为yf(π/6)=f(π/6)(xπ/6)，即y=(√3/2)x(√3/4)。

3.函数f(x)=x^2e^x在x=0处的n阶导数为______。

答案：n!x^n

解析：f(x)=2xe^x+x^2e^x。f(x)=2e^x+4xe^x+x^2e^x。f(x)=6e^x+6xe^x+x^2e^x。以此类推，f^n(x)=n!x^n。

4.函数f(x)=cosx在区间（0，π）内的最大值为______。

答案：1

解析：f(x)在区间（0，π）内单调递减，所以f(x)在x=0处取得最大值，即f(0)=1。

5.函数f(x)=ln(x+1)在x=0处的泰勒展开式的前三项为______。

答案：xx^2/2+x^3/6

解析：f(0)=0，f(0)=1，f(0)=1，f(0)=1。所以f(x)的泰勒展开式为f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)x^2/2!+f(0)x^3/3!=xx^2/2+x^3/6。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)在区间（∞，+∞）内的极值点及其对应的极值。

答案：f(x)在x=1处取得极大值4，在x=2处取得极小值4。

解析：f(x)=3x^26x。令f(x)=0，解得x=0和x=2。f(x)在x=0处变号，所以f(x)在x=0处有极值；f(x)在x=2处变号，所以f(x)在x=2处有极值。f(1)=4，f(2)=4。

2.设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)在x=0处的n阶导数。

答案：f^n(x)=n!x^n

解析：f(x)=2xe^x+x^2e^x。f(x)=2