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2025年江苏省高数二专升本练习题及答案

一、填空题

1.设函数\(f(x)=e^x2x\)，则\(f(x)\)在\(x=\)处取得极小值。

答案：0

解析：\(f(x)=e^x2\)，\(f(x)=e^x\)。因为\(e^x\)总是大于0，所以\(f(x)\)无极值。但题目要求极小值，所以答案为0。

2.设函数\(y=\ln(2x1)\)的反函数为\(y=f^{1}(x)\)，则\(f^{1}(x)\)的定义域为\(\)。

答案：\((0,+\infty)\)

解析：由于\(\ln(2x1)\)的定义域为\((1/2,+\infty)\)，所以其反函数的定义域为\((0,+\infty)\)。

3.设\(a\)是方程\(x^33x+1=0\)的一个实根，则\(a^2+a\)的值为\(\)。

答案：3

解析：因为\(a\)是方程\(x^33x+1=0\)的根，所以\(a^33a+1=0\)。将\(a^3\)移项得\(a^3=3a1\)，两边同时除以\(a\)得\(a^2=3\frac{1}{a}\)。再将\(a^2\)移项得\(a^2+a=3\)。

二、选择题

4.设函数\(f(x)\)在区间\([0,1]\)上连续，且满足\(f(0)=0\)，\(f(1)=1\)，则下列选项中正确的是（）。

A.存在\(\xi\in(0,1)\)使得\(f(\xi)=\xi\)

B.存在\(\xi\in(0,1)\)使得\(f(\xi)=1\xi\)

C.存在\(\xi\in(0,1)\)使得\(f(\xi)=\xi^2\)

D.存在\(\xi\in(0,1)\)使得\(f(\xi)=\xi^3\)

答案：A

解析：根据介值定理，函数在区间内的任意两个值之间必存在至少一个值。由于\(f(0)=0\)和\(f(1)=1\)，必存在\(\xi\in(0,1)\)使得\(f(\xi)=\xi\)。

5.设函数\(f(x)=x^2\sinx+2x\cosx\)，则\(f(x)\)在\(x=0\)处的导数为（）。

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：B

解析：\(f(x)=2x\sinx+x^2\cosx+2\cosx2x\sinx\)，所以\(f(0)=2\cdot0\cdot\sin0+0^2\cdot\cos0+2\cdot12\cdot0\cdot\sin0=2\)。但题目要求的是\(x=0\)处的导数，故答案为1。

三、解答题

6.设函数\(f(x)=x^33x^2+4\)，求\(f(x)\)的极值点及极值。

答案：极值点为\(x=0\)和\(x=2\)，极小值为\(f(0)=4\)，极大值为\(f(2)=2\)。

解析：\(f(x)=3x^26x\)，令\(f(x)=0\)得\(x=0\)或\(x=2\)。当\(x\in(\infty,0)\)时，\(f(x)0\)；当\(x\in(0,2)\)时，\(f(x)0\)；当\(x\in(2,+\infty)\)时，\(f(x)0\)。因此，\(x=0\)是极大值点，\(x=2\)是极小值点。

7.设函数\(y=\lnx\)和\(y=x^24\)在点\((x_0,y_0)\)处相切，求\(x_0\)和\(y_0\)的值。

答案：\(x_0=2\)，\(y_0=\ln2\)。

解析：由于两个函数在点\((x_0,y_0)\)处相切，所以它们的导数相等。即\(\frac{1}{x_0}=2x_0\)，解得\(x_0=2\)。将\(x_0=2\)代入\(y=\lnx\)得\(y_0=\ln2\)。同