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2025年江苏省高数一（专升本）考试练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，则f(x)的单调递增区间为（）

A.(∞,1)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(∞,2)

答案：D

解析：求导得f(x)=3x^26x+2，令f(x)0，解得x1或x2。因此，f(x)的单调递增区间为(∞,1)和(2,+∞)。

2.设函数y=e^x+e^x，则该函数的极小值为（）

A.2B.1C.0D.2

答案：A

解析：求导得y=e^xe^x，令y=0，解得x=0。当x0时，y0，函数单调递减；当x0时，y0，函数单调递增。所以x=0时，y取得极小值，即y=e^0+e^0=2。

3.设函数f(x)=sinx+cosx，则f(x)在区间[0,2π]内的最大值为（）

A.2B.√2C.1D.1

答案：B

解析：利用三角函数的和角公式，f(x)=√2sin(x+π/4)，当x+π/4=π/2时，f(x)取得最大值，即f(x)=√2。

4.设函数y=x^2+2x+3，则该函数的拐点坐标为（）

A.(1,2)B.(1,4)C.(1,4)D.(1,2)

答案：C

解析：求二阶导得y=2，令y=0，无解。求一阶导得y=2x+2，令y=0，解得x=1。当x1时，y0，函数凹；当x1时，y0，函数凸。所以x=1时，函数取得拐点，即y=(1)^2+2(1)+3=4，拐点坐标为(1,4)。

5.设函数f(x)=x^2e^x，则f(x)的二阶导数f(x)等于（）

A.(2x+2)e^xB.(2x+4)e^xC.(2x+6)e^xD.(2x+8)e^x

答案：B

解析：f(x)=2xe^x+x^2e^x，f(x)=2e^x+2xe^x+2e^x+x^2e^x=(2x+4)e^x。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数f(x)=x^33x^2+2x+1在x=2处的切线方程为______。

答案：y=x1

解析：f(x)=3x^26x+2，f(2)=8，f(2)=3。切线方程为y3=8(x2)，即y=x1。

2.设函数y=e^x+e^x，则该函数的极小值点为______。

答案：x=0

解析：求导得y=e^xe^x，令y=0，解得x=0。

3.函数f(x)=sinx+cosx在区间[0,2π]内的最大值为______。

答案：√2

解析：利用三角函数的和角公式，f(x)=√2sin(x+π/4)，当x+π/4=π/2时，f(x)取得最大值，即f(x)=√2。

4.设函数y=x^2+2x+3，则该函数的拐点坐标为______。

答案：(1,4)

解析：求二阶导得y=2，令y=0，无解。求一阶导得y=2x+2，令y=0，解得x=1。当x1时，y0，函数凹；当x1时，y0，函数凸。所以x=1时，函数取得拐点，即y=(1)^2+2(1)+3=4，拐点坐标为(1,4)。

5.设函数f(x)=x^2e^x，则f(x)的二阶导数f(x)等于______。

答案：(2x+4)e^x

解析：f(x)=2xe^x+x^2e^x，f(x)=2e^x+2xe^x+2e^x+x^2e^x=(2x+4)e^x。

三、解答题（共50分）

1.（10分）求函数f(x)=x^33x^2+2x+1的单调区间和极值。

答案：单调递增区间为(∞,1)和(2,+∞)，单调递减区间为(1,2)。极大值为f(1)=1，极小值为f(2)=1。

解析：求导得f(x)=3x^26x+2，令f(x)=0，解得x=1和x=2。当x1或x2时，f(x)0，函数单调递增；当1x2时，f(x)0，函数单调递减。所以x=1时，函数取得极大值f(1)=1；x=2时，函数取得极小值f