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河北省秦皇岛市河北昌黎第一中学2026届高三第一次调研考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（???）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

3．已知等比数列，则（????）

A．3 B．±3 C． D．

4．某地区组织了一次高三模拟考试，对该地区3000名考生的考试成绩进行统计分析发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于105分的人数与低于65分的人数相同，据此可以估计本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为（???）

（参考数据：若，有，，）

A．580 B．480 C．380 D．280

5．已知直线与：交于两点，若在上的投影向量的模为，则的值为（???）

A． B． C． D．

6．已知函数的值域为，则的值为（???）

A． B．0 C．1 D．

7．已知，则（???）

A．1 B．2 C．或2 D．1或2

8．已知，是单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（???）

A．2 B． C． D．1

二、多选题

9．函数的部分图象如图所示，则（???）

??

A．当最小时，

B．的图象关于直线对称

C．不等式的解集为

D．若在上有三个零点，则

10．在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（???）

A．平面

B．

C．直线与的距离为

D．直线与平面所成角的正弦值为

11．在平面直角坐标系中，设，定义的范数为.若，则下列结论正确的是（???）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．设，则.

13．设数列的前n项和为，若，则.

14．已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是.

四、解答题

15．在平面四边形中，，，，.

??

(1)求的长.

(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.

16．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，平面，，，点为线段上的三等分点.

??

(1)证明：平面平面.

(2)求二面角的余弦值.

17．已知函数（，且）.

(1)当时，证明：.

(2)若不等式恒成立，求a的值.

18．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点在C上，过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点.

(1)求椭圆C的方程.

(2)若直线l的斜率为，求的面积.

(3)设点Q满足，求点Q的轨迹方程.

19．n阶拉丁方阵是一种的方阵，在这种的方阵里，恰有1到n这n个不同的正整数，每一个不同的正整数在同一行或同一列中只出现一次.例如，如图是一个3阶拉丁方阵.

1

2

3

2

3

1

3

1

2

(1)分别计算2阶和3阶拉丁方阵的个数.

(2)求4阶拉丁方阵的个数，并证明：n阶拉丁方阵的个数是的倍数.

(3)设A为的方阵，且1到n这n个不同的正整数恰好在A中各出现n次，记全体方阵A构成的集合为S，从S中任取一个方阵，记此方阵为n阶拉丁方阵的概率为.证明：.

参考公式：.

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《河北省秦皇岛市河北昌黎第一中学2026届高三第一次调研考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

C

B

D

A

D

B

BCD

ACD

题号

11

答案

BC

1．C

【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由图即可判断.

【详解】设，由得，

可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）.

由图知圆显然不经过第三象限，故复数在复平面上不可能位于第三象限.

故选：C.

2．A

【分析】利用指数函数与对数函数的性质解不等式，求出集合A和集合B，再取并集即可求解.

【详解】由解得，故集合，

由解得，故集合，

所以.

故选：A.

3．C

【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算得解.

【详解】在等比数列中，，由，得，

而，因此，又，且同号，则，

所以.

故选：C

4．B

【分析】利用正态分布的对称性得，进而有，根据已知及对称性求概率，即可估计人数.

【详解】由题设，结合正态分布的对称性知，而，

所以，

所以本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为，故大约人.

故选：B

5．D

【分析】根据条件，将问题转化成圆心到直线的距离为，利用点到线的距