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江西省赣抚吉十二校2026届高三第一次联考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在复平面内，对应的点位于（???）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合，则（???）

A． B． C． D．

3．已知函数为偶函数，当时，，则（???）

A． B． C． D．

4．已知，则（???）

A． B． C． D．

5．已知椭圆的方程为，且离心率与双曲线的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为（???）

A． B． C． D．

6．儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有的学生牙齿健康，大约有的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有的学生牙齿健康.现从不是早晚都刷牙的学生中任意调查一名学生，则他的牙齿健康的概率约为（???）

A． B． C． D．

7．若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（???）

A． B． C． D．

8．设，则（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．一个三棱锥和一个三棱柱的所有棱长与一个表面积为的正方体的棱长相等，则下列结论正确的是（???）

A．三棱锥的表面积为

B．三棱柱的表面积为

C．三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为

D．三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为

10．对于任意的，函数满足，则下列结论正确的是（???）

A． B．

C． D．

11．已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，且.在圆的劣弧上有异于的动点，过点作垂直于轴的直线与抛物线相交于点，与优弧相交于点，则下列说法正确的是（???）

A．或

B．

C．若不经过原点，则周长的取值范围是

D．若不经过原点，记的面积为，若取中的任何一个定值，则满足题意的点一定有2个

三、填空题

12．已知向量满足，则.

13．直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则.

14．定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为.

四、解答题

15．已知数列的首项.

(1)求数列的通项公式；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

16．某平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200名用户进行调查，得到数据如下表：

日均时长（分钟）

[40，50]

频数

30

50

80

30

10

(1)估计这200名用户日均观看时长的第70百分位数；

(2)若平台规定“日均观看时长不少于30分钟的用户为潜在高粘性用户”，现从样本中有放回地抽取次，每次抽取1人，记抽到潜在高粘性用户的人数为.

（i）当时，求的分布列和数学期望；

（ii）若平台希望至少抽到1名潜在高粘性用户的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：）

17．如图，在三棱锥中，点分别是底边的中点，平面和平面相交于直线.

??

(1)求证：平面；

(2)若平面平面是直线上的一点，，求直线与平面所成角的正弦值.

18．已知函数.

(1)若，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(2)当时，记函数的最大值为，证明：.（参考数据：）

19．定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.

(1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；

(2)如图，已知椭圆，椭圆的离心率为与相似，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）；

??

(3)若椭圆，写出与椭圆相似且长半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围.

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《江西省赣抚吉十二校2026届高三第一次联考数学试卷》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

B

D

D

B

A

C

D

ACD

BC

题号

11

答案

BC

1．A

【分析】由复数的乘法运算及复数的几何意义可解.

【详解】因为，则