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江西省宜春市九师联盟2024-2025学年高二下学期7月摸底考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（????）

A． B． C． D．

2．已知，则（????）

A．2 B． C． D．

3．已知向量，满足，则（????）

A． B． C．4 D．

4．若，则（????）

A． B． C． D．

5．若，则函数的图象在点处的切线方程为（????）

A． B． C． D．

6．已知函数，则（????）

A．的最小正周期为

B．的图象关于点对称

C．在区间上单调递减

D．若的图象关于直线对称，则的最小值为

7．已知体积为的圆锥的轴截面为正三角形，则该圆锥的外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

8．已知函数的定义域为R，且，若，则（????）

A．－2024 B．－2023 C．4049 D．4050

二、多选题

9．已知数列的前n项和为，，，则（????）

A． B．成等比数列

C． D．

10．某校通过无记名的问卷获得了本校学生每日课间自由活动的时间（分钟）情况，从中随机抽取了若干名学生的问卷，发现学生每日课间自由活动的时间都在2~10分钟之间，并将所得样本数据分为4组：[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]，整理得频率分布直方图如图所示，则（????）

A．样本中课间自由活动的时间位于区间[8，10]的频率为0.15

B．样本数据的第70百分位数的估计值为8

C．样本数据的中位数的估计值小于7

D．若视频率为概率，从该校全体学生中随机抽取5人，则其中课间自由活动的时间位于区间[4，8）的人数的数学期望为3

11．如图所示，动点到定点的距离与到定直线的距离之积为1，记P的轨迹为曲线C，则（????）

??

A．点P的横坐标的取值范围是

B．C与抛物线有且只有一个公共点

C．C上任意一点满足

D．C上存在两个不同的点关于直线对称

三、填空题

12．若是定义在R上的奇函数，则实数a的值为．

13．在一个名为“奇幻冒险岛”的游戏中，玩家可以选择战士、法师和猎人这三种不同的角色．根据游戏设定，一名玩家选择战士、法师和猎人的概率分别为0.4，0.3，0.3，每种角色在进入游戏后，都有可能触发“神秘宝藏”事件．已知战士、法师和猎人触发“神秘宝藏”事件的概率分别为0.2，0.5，0.1，现在随机选择一名玩家进入游戏，则该玩家触发“神秘宝藏”事件的概率为．

14．过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为．

四、解答题

15．已知的面积为，．

(1)求C的大小；

(2)求周长的最小值．

16．2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）上映以来，备受观众喜爱，某传媒公司为了了解观众对《哪吒2》的评价程度是否与性别有关，从网上随机抽取了1000名观看过该影片的观众进行调查，得到以下列联表．

对《哪吒2》评价高

对《哪吒2》评价不高

总计

男性观众

400

女性观众

50

总计

100

1000

(1)将2×2列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，能否认为观众对《哪吒2》的评价程度与性别有关联？

(2)若将本次网上调查结果中“对《哪吒2》评价高”的频率作为全国观众“对《哪吒2》评价高”的概率，从观看过《哪吒2》的观众中随机抽3名，记X为3人中对《哪吒2》评价高的人数，求X的分布列和数学期望．

附：，其中．

α

0.01

0.005

0.001

6.635

7.879

10.828

17．如图，四棱锥P－ABCD中，，平面ABCD，，M为PB的中点，．

??

(1)证明：；

(2)求平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值．

18．瑞士数学家伯努利（Bernoulli，1654－1705）提出“让式子丢掉次数”，是高等数学在解决不等关系问题中最常见的一种方法．伯努利提出“若实数，则有”，这就是伯努利不等式，并给出了这个结论的完美证明．

(1)指出伯努利不等式中等号成立的条件（不必说明理由）；

(2)证明伯努利不等式；

(3)已知无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列，…，依次类推．试用n与d表示，并证明．

19．已知椭圆的焦距为2，点在C上，F是C的右焦点．

(1)求C的方程；

(2)如果直线与C相交于P，Q两点，且射线FA平分．

（ⅰ）求m的取值范围，并证明l过定点；

（ⅱ