(人教B版)2025秋高中数学必修三同步讲义第15讲两角和与差的余弦(2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固)(学生版+解析).docxVIP

第04讲两角和与差的余弦

课程标准

学习目标

1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。

2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系。

3.能运用上述公式进行简单的恒等变换。

1.通过单位圆及向量的数量积，证明两角差的余弦公式并熟记；

2.通过诱导公式的应用，推导两角和的余弦公式并熟记；

3.通过公式的推导记忆，能够熟练运用公式解决三角函数求值问题。

知识点01两角差的余弦公式

1、公式与简记：，简记为；

2、公式理解：

（1）公式中的，是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合；

（2）一般不成立，但在特殊情况下也可能成立。

如：，时，.

（3）要掌握公式的逆用：如

【即学即练1】（24-25高一下·全国·课堂例题）

知识点02两角和的余弦公式

1、公式与简记：，简记为；

2、公式理解记忆：

（1）两角和的余弦公式中，也是任意角；

（2）理顺公式间的联系：；

（3）注意公式的结构特征和符号规律：对公式，，用口诀“余余正正号相反”记忆公式。

【即学即练2】（24-25高一·河北衡水·期中）若为锐角，且，则．

题型01逆用公式化简求值

【典例1】（24-25高一上·天津南开·期末）的值为(????)

A． B． C． D．

【变式1】（23-24高一下·山东东营·期末）（???）

A．1 B． C． D．

【变式2】（2024·山东·一模）计算：等于（???）

A． B． C． D．

【变式3】（2025高二·云南·学业考试）（????）

A． B．

C． D．

【变式4】（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）（????）

A． B．0 C． D．

【变式5】（24-25高一上·全国·课后作业）（????）

A． B． C． D．

题型02求非特殊角的余弦值

【典例2】（24-25高一下·全国·课后作业）cos235°的值是（????）

A． B．

C． D．

【变式1】（2025高三·全国·专题练习）计算（????）

A． B． C． D．

【变式2】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）求值：.

【变式3】（24-25高一下·上海·课后作业）求值：．

题型03给值求值

【典例3】（24-25高一下·辽宁·期中）已知，，（????）

A． B． C． D．

【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）在中，若，，则等于（????）

A． B． C． D．

【变式2】（23-24高一下·河北·期末）已知，则（????）

A． B． C． D．

【变式3】已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（????）

A． B． C． D．

【变式4】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，，则（????）

A． B． C． D．

【变式5】（24-25高一上·上海·随堂练习），，，，则.

题型04给值求角

【典例4】（2024高三·全国·专题练习）若，且，，则的值是（???）

A． B． C．或 D．或

【变式1】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知α，β为锐角，，则的值为（???）

A． B． C． D．

【变式2】（24-25高三上·河北·期中）已知，则（????）

A． B． C． D．

【变式3】（24-25高三上·安徽宣城·期末）中，，且，则（???）

A． B． C． D．

【变式4】（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知锐角满足，则（????）

A． B． C． D．

【变式5】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）若，，且，，则；

题型05余弦公式的灵活运用

【典例5】（2024·全国·模拟预测）已知，，满足，且，，则的值为（????）

A．－2 B． C． D．2

【变式1】（24-25高三上·湖北·期中）已知，，，则（????）

A． B． C． D．

【变式2】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，则（????）

A． B． C． D．

【变式3】（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（????）

A． B． C． D．

【变式4】（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则.

一、单选题

1．（23-24高一下·江苏镇江·期中）（????）

A．1 B． C． D．-1

2．（24-25高三上·贵州黔南·期末）已知是以轴的非负半轴为始边的角，终边与以坐标原点为圆心的单位圆分别交于一点，则（???）

A． B． C． D．

3．（2024·陕西西安·一模）已知，则（???）

A． B． C． D．

4．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（???）

A． B． C． D．