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上海市金山中学2024~2025学年高二下学期期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．设集合，，若，则实数

2．若直线与直线垂直，则．

3．不等式的解集为．

4．已知为单位向量，，则的夹角为．

5．从高三某班抽取名同学，他们的数学成绩如下：，，，，，，，，，（单位：分），则这名同学数学成绩的第百分位数是．

6．底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为

7．已知点在抛物线上，且点与焦点的距离为，则的值为.

8．设由复数组成的数列满足：对任意的正整数，都有（是虚数单位），则数列的前项的和为．

9．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有种.

10．已知，且，则的最小值为．

11．已知定义在上的函数的导函数，若，且，则不等式的解集是.

12．已知实数满足：，则的最大值是．

二、单选题

13．若，是不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（????）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

14．等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（????）

A． B．2 C． D．

15．已知，则（）

A． B． C． D．0

16．已知，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（????）

A．甲正确，乙正确

B．甲正确，乙错误

C．甲错误，乙正确

D．甲错误，乙错误

三、解答题

17．在四棱锥中，底面为梯形，，，，，四棱锥的体积为4.

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角.（结果用反三角函数表示）

18．已知函数，，，，它们的最小正周期为.

（1）若是奇函数，求和在上的公共减区间D；

（2）若的一个零点为，求的最大值.

19．为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：

??????类别科室

志愿者

医生

护士

A科室

2

3

B科室

3

3

(1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；

(2)设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望.

20．已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且；

(1)求此椭圆方程．

(2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值．

(3)求四边形面积的最大值．

21．已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为；

(1)若，求；

(2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程；

(3)若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围．

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《上海市金山中学2024~2025学年高二下学期期末数学试卷》参考答案

题号

13

14

15

16

答案

D

C

B

A

1．0，2

【分析】利用子集的定义即可求出的值.

【详解】集合，，若，则且，

所以或，

故答案为：0，2

【点睛】本题主要考查了子集的定义，涉及元素的互异性，属于基础题.

2．

【分析】讨论直线斜率存在与否，再根据直线垂直的性质，即可求解.

【详解】由题知，斜率为，

若，则，，不垂直；

若，则，，不垂直；

若，则斜率为，

所以，解得.

故答案为：

3．

【分析】利用对数函数单调性求出不等式的解集.

【详解】由不等式，得，解得，

所以不等式的解集为.

故答案为：

4．

【分析】根据数量积的运算和向量模的公式求解即可.

【详解】解：因为为单位向量，，

所以，

所以，

因为，

所以

故答案为：

5．

【分析】根据百分位数定义可求.

【详解】解：因为，

所以这名同学数学成绩的