4.5 增长速度的比较.DOCXVIP

数学必修·第二册[人教B版]作业与测评

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知识点一函数的平均变化率

1．函数y＝2x＋1在区间[1，2]上的平均变化率为()

A．0 B．1

C．2 D．3

答案：C

解析：当x＝1时，y＝3，当x＝2时，y＝5，故平均变化率为eq\f(5－3,2－1)＝2.故选C.

2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()

A．1 B．－1

C．2 D．－2

答案：B

解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1－3,3－1)＝－1.故选B.

3．在对数函数y＝log2x的图象上，从x＝2到x＝4的平均变化率是________．此变化率的几何意义是________________________．

答案：eq\f(1,2)过对数函数y＝log2x图象上两点(2，1)，(4，2)的直线的斜率

解析：从x＝2到x＝4的平均变化率为eq\f(log24－log22,4－2)＝eq\f(log22,2)＝eq\f(1,2).此变化率的几何意义是过对数函数y＝log2x图象上两点(2，1)，(4，2)的直线的斜率．

知识点二平均变化率的大小比较

4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝log2x，若这两个函数在区间[1，4]上的平均变化率分别为k1，k2，则k1________k2(填“”“”或“＝”)．

答案：

解析：k1＝eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)＝eq\f(3x2－3x1,x2－x1)，所以函数f(x)＝3x在区间[1，4]上的平均变化率为eq\f(34－31,4－1)＝26.k2＝eq\f(Δg,Δx)＝eq\f(g（x2）－g（x1）,x2－x1)＝eq\f(log2x2－log2x1,x2－x1)，所以函数g(x)＝log2x在区间[1，4]上的平均变化率为eq\f(log24－log21,4－1)＝eq\f(2－0,3)＝eq\f(2,3).故k1k2.

5．函数f(x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率中，在x＝________附近的平均变化率最大．

答案：3

解析：在x＝1附近的平均变化率为k1＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(（1＋Δx）2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝eq\f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝eq\f(（2＋Δx）2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝eq\f(f（3＋Δx）－f（3）,Δx)＝eq\f(（3＋Δx）2－32,Δx)＝6＋Δx.对任意Δx有k1k2k3，所以在x＝3附近的平均变化率最大．

6．(2024·河南洛阳期末)婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第________年增长较快．

答案：一

解析：∵eq\f(ΔW1,Δt1)＝eq\f(11.25－3.75,12－0)＝0.625，eq\f(ΔW2,Δt2)＝eq\f(14.25－11.25,24－12)＝0.25，∴eq\f(ΔW1,Δt1)＞eq\f(ΔW2,Δt2)，故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快．

知识点三函数平均变化率的应用

7．已知函数f(x)的定义域为R，而且f(x)在任意区间上的平均变化率均比g(x)＝3x－4在同一区间上的平均变化率大，则f(5)－f(2)________9.(用“＞”“＜”或“＝”填空)

答案：＞

解析：函数g(x)＝3x－4在任意区间上的平均变化率为3.根据题意，函数f(x)在[2，5]上的平均变化率大于3.即eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（5）－f（2）,5－2)3，所以f(5)－f(2)9.

8．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，如图是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？

解：山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝eq\f(10－0,50－0)＝eq\f(1,5)，山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝eq\f(15－10,70－50)＝eq\f(1,4)，∴hBChAB.∴山路从B到C比从A到B要陡峭得多．

一、单项选择题

1．函数f(x)＝eq\r(2x)从x＝eq\f(1,2)到x＝2的平均变化率为()

A．2 B．eq\f(2,3)

C．eq\f(2\r(2),3) D．eq\r(2)

答案：B

解析：由题意知函数f(x)＝eq\r(2x)从x＝eq\f(1,2)到x＝2的增量为Δf＝f(2)－feq